Parametrizovaný postnewtonovský formalismus

Parametrizovaný post-newtonovský formalismus ( PPN formalismus ) je verzí post-newtonského formalismu použitelnou nejen pro obecnou relativitu , ale také pro jiné metrické teorie gravitace , kdy pohyby těles splňují Einsteinův princip ekvivalence . V tomto přístupu jsou všechny možné závislosti gravitačního pole na rozložení hmoty explicitně vypsány až do odpovídajícího řádu inverzní čtverce rychlosti světla (přesněji rychlosti gravitace, přičemž obvykle je omezena na první řád). ) a nejobecnější výraz je sestaven pro řešení rovnic gravitačního pole a pohybu hmoty. Různé teorie gravitace zároveň obecně předpovídají různé hodnoty koeficientů - takzvané PLT parametry. To vede k potenciálně pozorovatelným efektům, jejichž experimentální omezení velikosti vedou k omezením parametrů PNP, a tedy k omezením teorie gravitace, která je předpovídá. Dá se říci, že parametry PPN popisují rozdíly mezi newtonskou a popsanou gravitační teorií. Formalismus PPN je použitelný, když jsou gravitační pole slabá a rychlosti pohybu těles, která je tvoří, jsou malé ve srovnání s rychlostí světla (přesněji rychlostí gravitace) - kanonickými příklady použití jsou pohyb sluneční soustavy a systémy dvojitých pulsarů . [1] [2] $c^{{-2}}$

Historie

První parametrizace postnewtonovské aproximace patří Eddingtonovi (Eddington, 1922 [3] ). Uvažovalo se však pouze o gravitačním poli ve vakuu kolem sféricky symetrického statického tělesa [4] . Nordtvedt (Nordtvedt, 1968 [5] , 1969 [6] ) rozšířil formalismus na 7 parametrů a Will (1971 [7] ) do něj zavedl popis nebeských těles jako rozšířených distribucí tenzoru energie-hybnosti [ 4] .

Nejčastěji používané verze níže popsaného formalismu vycházejí z prací Ni (Ni, 1972 [8] ), Willa a Nordtvedta (Will & Nordtvedt, 1972 [9] ), Misnera , Thorna a Wheelera Gravity [ 10] a Will [1] [2] a mají 10 parametrů.

Beta-delta notace

Deset postnewtonských parametrů (PPN parametrů) zcela charakterizuje chování naprosté většiny metrických teorií gravitace v limitu slabého pole [11] . PPN formalismus se ukázal jako cenný nástroj pro testování obecné relativity [12] . V notaci Will (Will, 1971 [7] ), Ni (Ni, 1972 [8] ) a Misner, Thorne a Wheeler (Misner et al., 1973 [10] ) mají parametry PPN následující konvenční význam [ 13] :

$\gamma$	Jak silné je prostorové zakřivení generované jednotkou klidové hmotnosti? $g_{ij}$
$\beta$	Jak velká je nelinearita při sčítání gravitačních polí? $g_{00}}$
$\beta_{1}$	Kolik gravitace je produkováno jednotkou kinetické energie ? $g_{00}}$ $\textstyle\frac12\rho_0v^2$
$\beta _{2}$	Kolik gravitace je produkováno jednotkou gravitační potenciální energie ? $g_{00}}$ $\rho_0/U$
$\beta_3$	Kolik gravitace je produkováno jednotkou vnitřní energie tělesa ? $g_{00}}$ $\rho_0\Pi$
$\beta_4$	Kolik gravitace je produkováno jednotkou tlaku ? $g_{00}}$ $p$
$\zeta$	Rozdíl mezi projevem radiální a příčné kinetické energie v gravitaci v $g_{00}}$
$\eta$	Rozdíl mezi projevem radiálních a příčných napětí v gravitaci v $g_{00}}$
$\Delta_1$	Kolik odporu v inerciálních vztažných soustavách vytváří jednotka hybnosti ? $g_{0j}$ $\rho_0v$
$\Delta_2$	Rozdíl mezi mírou odporu inerciálních vztažných soustav v radiálním a příčném směru

$g_{\mu \nu }$ je symetrický metrický tenzor 4 x 4 a prostorové indexy se pohybují od 1 do 3. $i$ $j$

V Einsteinově teorii tyto parametry odpovídají skutečnosti, že (1) je obnovena newtonovská gravitace pro malé rychlosti pohybu těles a jejich hmotností, (2) jsou splněny zákony zachování energie, hmoty, hybnosti a momentu hybnosti a (3) rovnice teorie nezávisí na vztažné soustavě. V takovém zápisu má obecná teorie relativity parametry PPN

\gamma=\beta=\beta_1=\beta_2=\beta_3=\beta_4=\Delta_1=\Delta_2=1

a [13] .

\zeta =\eta =0

Alfa-zeta notace

Modernější verze (Will & Nordtvedt, 1972 [9] ), kterou používá také Will (1981 [2] , 2014 [1] ), používá jinou ekvivalentní sadu 10 parametrů PST.

\gamma=\gama

\beta=\beta

\alpha_1=7\Delta_1+\Delta_2-4\gamma-4

\alpha_2=\Delta_2+\zeta-1

\alpha_3=4\beta_1-2\gamma-2-\zeta

\zeta_1=\zeta

\zeta_2=2\beta+2\beta_2-3\gamma-1

\zeta_3=\beta_3-1

\zeta_4=\beta_4-\gama

\xi

se získává z .

3\eta=12\beta-3\gamma-9+10\xi-3\alpha_1+2\alpha_2-2\zeta_1-\zeta_2

Význam parametrů a zároveň - míra projevu účinků preferovaného referenčního rámce ( éteru ) [14] . , , , a změřte míru porušení zákonů zachování energie, hybnosti a momentu hybnosti [15] . $\alpha_{1}$ $\alpha_2$ $\alpha _{3}$ $\zeta_{1}$ $\zeta _{2}$ $\zeta _{3}$ $\zeta _{4}$ $\alpha _{3}$

V těchto PPN zápisech jsou parametry GR

\gamma=\beta=1

a [16] .

\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4 }=\xi=0

Typ alfa-zeta metriky varianty:

\begin{matrix}g_{00} = -1+2U-2\beta U^2-2\xi\Phi_W+(2\gamma+2+\alpha_3+\zeta_1-2\xi)\Phi_1 +2(3\ gamma-2\beta+1+\zeta_2+\xi)\Phi_2 \\ \ +2(1+\zeta_3)\Phi_3+2(3\gamma+3\zeta_4-2\xi)\Phi_4-(\zeta_1- 2\xi)A-(\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3)w^2U \\ \ -\alpha_2w^iw^jU_{ij}+(2\alpha_3-\alpha_1)w^iV_i+O(\varepsilon^ 3) \end{matrix}

g_{0i}=-\textstyle\frac12(4\gamma+3+\alpha_1-\alpha_2+\zeta_1-2\eta)V_i-\textstyle\frac12(1+\alpha_2-\zeta_1+2\xi)W_i - \textstyle\frac12(\alpha_1-2\alpha_2)w^iU-\alpha_2w^jU_{ij}+O(\varepsilon^{\frac52})\;,

g_{ij}=(1+2\gama U)\delta _{ij}+O(\varepsilon ^{2})\;

kde se předpokládá sumace přes opakované indexy, je definována jako maximální hodnota newtonského potenciálu v systému , druhá mocnina rychlosti hmoty nebo podobných veličin (všechny mají stejný řád), je rychlost souřadnice PPN systému vzhledem k vybranému klidovému rámu je druhou mocninou této rychlosti, a pokud a jinak, symbol Kronecker [17] . $\varepsilon^2$ $U$ $w^i$ $w^2=w^iw^j\delta_{ij}$ $\delta_{ij}=1$ $i=j$ $0$

Existuje pouze deset jednoduchých metrických potenciálů: , , , , , , , a [18] , tolik jako parametry PPN, což zaručuje jedinečnost řešení PNP pro každou teorii gravitace [17] . Tvar těchto potenciálů připomíná gravitační potenciál Newtonovy teorie - jsou rovny určitým integrálům nad rozložením hmoty, např. [18] , $U$ $U_{ij}$ $\Phi_W$ $A$ $\Phi _{1}$ $\Phi _{2}$ $\Phi_3$ $\Phi_4$ $V_i$ $W_i$

U(\mathbf{x},t)=\int{\rho_0\over|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}d^3x'.

Úplný seznam definic metrických potenciálů viz Misner, Thorn, Wheeler (Misner et al., 1973 [19] ), Will (1981 [18] , 2014 [20] ) a další.

Postup pro odvození parametrů PPN z teorie gravitace

Příklady analýzy lze nalézt ve Will, 1981 [2] . Proces se skládá z devíti fází [21] :

Krok 1: Definice proměnných: (a) dynamické gravitační proměnné jako metrické , gravitační skalární , vektorové a/nebo tenzorové pole atd.; (b) preferované geometrické proměnné, jako je metrika plochého pozadí , kosmologický čas atd.; c) proměnné hmotných (negravitačních) polí. $g_{\mu \nu }$ $\phi$ $K_{\mu }$ ${\displaystyle B_{\mu \nu ))$ $\eta _{{\mu \nu ))$ $t$

Krok 2: Stanovení kosmologických okrajových podmínek: za předpokladu Friedmannova vesmíru (homogenního a izotropního) zavedeme izotropní souřadnice do klidového rámce vesmíru (ne vždy je k tomu potřeba kompletní kosmologické řešení). Získaná pozadí kosmologická pole se nazývají , , , . $g_{\mu \nu }^{(0)}={\mbox{diag}}(-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})$ $\phi _{0}$ ${\displaystyle K_{\mu }^{(0)))$ ${\displaystyle B_{\mu \nu }^{(0)))$

Krok 3: Zavedeme nové proměnné , a v případě potřeby také , , . ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)))$ ${\displaystyle \phi -\phi _{0))$ ${\displaystyle K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)))$ ${\displaystyle B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)))$

Krok 4: Získané výrazy a tenzor energie-hybnosti hmoty (obvykle ideální tekutiny) dosadíme do rovnic gravitačního pole a zahodíme členy příliš vysokého řádu i pro ostatní dynamické gravitační proměnné. ${\displaystyle h_{\mu \nu ))$

Krok 5: Řešte rovnice pro až . Za předpokladu , že tato veličina má tendenci k nule daleko od systému, dostaneme tvar Newtonovská metrika má tvar , , . Přejděme k jednotkám, ve kterých je gravitační „konstanta“, měřená nyní daleko od gravitující hmoty, rovna jedné . ${\displaystyle h_{00))$ $O(2)$ $h_{00}=2\alpha U$ $U$ $\alpha$ $G$ $g_{00}=-c_{0}+2\alpha U$ $g_{0j}=0$ ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}c_{1))$ $G_{\mbox{today}}=\alpha /c_{0}c_{1}=1$

Krok 6: Z linearizované verze rovnic pole získáme až a až . $h_{ij}$ $O(2)$ $h_{0j}$ $O(3)$

Krok 7: Najděte až . Toto je nejobtížnější fáze, protože rovnice se zde stávají nelineárními. Tenzor energie-hybnosti je také potřeba rozšířit do požadovaného řádu. ${\displaystyle h_{00))$ $O(4)$

Krok 8: Přejděte na standardní kalibraci DPL.

Krok 9: Porovnáním výsledné metriky se známým výrazem PST určete parametry PST teorie. $g_{\mu \nu }$

Srovnání teorií gravitace

Tabulka představující parametry PNP 23 teorií gravitace je uvedena v článku " Alternativní teorie gravitace ".

Většinu metrických teorií lze rozdělit do několika kategorií. Skalární teorie gravitace zahrnují konformně ploché teorie a stratifikované teorie s prostorovými sekcemi přísně ortogonálními ke směru času.

V konformně plochých teoriích, jako jsou Nordströmovy teorie , je metrika rovna a tedy , což je absolutně neslučitelné s pozorováními. Ve stratifikovaných teoriích, jako je Yilmazova teorie , je metrika a, tedy , , což opět odporuje pozorování. $\mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta ))$ $\gamma =-1$ $\mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta ))$ $\alpha _{1}=-4(\gamma +1)$

Další třídou teorií jsou kvazilineární teorie typu Whitehead . Pro ně . Vzhledem k tomu, že relativní amplitudy harmonických zemského přílivu a odlivu závisí na a , jejich měření umožňují odmítnout všechny takové teorie, s výjimkou tak velké hodnoty . $\xi =\beta$ $\xi$ $\alpha_2$ $\xi$

Další třídou teorií jsou bimetrické teorie . Nerovná se pro ně 0. Z dat precese spinové osy pro milisekundové pulsary víme, že , a to fakticky odmítá bimetrické teorie. $\alpha_2$ $|\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9}$

Dále následují teorie skalárního tenzoru , například Brans-Dickeho teorie . Pro takové teorie v prvním přiblížení . Limit dává velmi malý , který charakterizuje stupeň „skalární“ gravitační interakce, a jak se experimentální data zpřesňují, limit na všechno se stále zvyšuje, takže takové teorie jsou stále méně pravděpodobné. $\gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$ ${\displaystyle \gamma -1<2,3\krát 10^{-5))$ $1/\omega$ $\omega$

Poslední třídou teorií jsou teorie vektorových tenzorů . Pro ně se gravitační "konstanta" mění s časem a není rovna 0. Laserové měření Měsíce silně omezuje kolísání gravitační "konstanty" a , takže tyto teorie také nevypadají spolehlivě. $\alpha_2$ $|\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9}$

Některé metrické teorie nespadají do výše uvedených kategorií, ale mají podobné problémy.

Experimentální limity parametrů PPN

Hodnoty převzaty z Willovy recenze, 2014 [23]

Parametr	Hranice	efekty	Experiment
$\gamma-1$	${\displaystyle 2.3\cdot 10^{-5))$	Shapiro efekt , gravitační vychylování světla	Cassini-Huygensova trajektorie
$\beta-1$	$8\cdot 10^{-5}$	Nordtvedtův efekt , posun perihelia	Laserové měření vzdálenosti Měsíce , planetární pohyby ve sluneční soustavě
$\xi$	$4\cdot 10^{-9}$	Precese osy otáčení	Milisekundové pulsary
$\alpha_{1}$	$4\cdot 10^{-5}$	Posun orbitální roviny	Laserové měření vzdálenosti Měsíce , pulsar J1738+0333
$\alpha_2$	$2\cdot 10^{-9}$	Precese osy otáčení	Milisekundové pulsary
$\alpha _{3}$	$4\cdot 10^{-20}$	samozrychlení	Statistika zpomalení pulzaru
$\zeta_{1}$	$0,02$	-	Kombinovaný limit různých experimentů
$\zeta _{2}$	$4\cdot 10^{-5}$	Zrychlení dvojitých pulsarů	PSR 1913+16
$\zeta _{3}$	$10^{{-8}}$	Třetí Newtonův zákon	Zrychlení Měsíce
$\zeta _{4}$	$0,006$ ‡	-	Není nezávislý

‡ Na základě vůle (1976 [24] , 2014 [1] ). Teoreticky je v některých teoriích gravitace možné toto omezení obejít, pak bude platit slabší limit z Neeho práce (1972 [8] ). $6\zeta_4=3\alpha_3+2\zeta_1-3\zeta_3$ $|\zeta_4|< 0,4$

Poznámky

↑ 1 2 3 4 Will, 2014 .
↑ 1 2 3 4 5 Will, 1985 .
↑ Eddington, 1934 .
↑ 1 2 MTU, 1977 , svazek 3, s. 315.
↑ Nordtvedt, 1968 .
↑ Nordtvedt, 1969 .
↑ 12 Will , 1971 .
↑ 1 2 3 Ni, 1972 .
↑ 1 2 Will & Nordtvedt, 1972 .
↑ 1 2 MTU, 1977 .
↑ MTU, 1977 , svazek 3, s. 313.
↑ MTU, 1977 , svazek 3, s. 314.
↑ 1 2 MTU, 1977 , svazek 3, s. 317-318.
↑ Will, 1985 , str. 90-91.
↑ Will, 1985 , str. 99-100.
↑ Will, 1985 , 5.2. Obecná teorie relativity.
↑ 1 2 Will, 1985 , str. 87.
↑ 1 2 3 Will, 1985 , 4.1. Post-newtonská limita. d. Postnewtonské potenciály ..
↑ MTU, 1977 , svazek 3. § 39.8. PPN-metrické koeficienty.
↑ Will, 2014 , str. 32-33, rámeček 2.
↑ Will, 1985 , 5.1. Metoda výpočtu..
↑ Will, 2014 , 3.3 Konkurenční teorie gravitace..
↑ Will, 2014 , str. 46.
↑ Will, 1976 .

Literatura

Hlavní

Will K. Teorie a experiment v gravitační fyzice: Per. z angličtiny. - M. : Energoatomizdat, 1985. - 296 s. — Přeložil Will, CM Theory and Experiment in Gravitational Physics. - Cambridge University Press, 1981, 1993. - ISBN 0-521-43973-6 .
Will CM The Confrontation between General Relativity and Experiment // Living Reviews in Relativity. - 2014. - Sv. 17 , č. 4 . - doi : 10.12942/lrr-2014-4 . — . - arXiv : 1403,7377 . Archivováno z originálu 19. března 2015.

Další

Misner, C., Thorn K., Wheeler J. Gravitace. Ve 3 sv . - M .: Mir, 1977. - Přeložil Misner, CW, Thorne, KS & Wheeler, JA Gravitation. — W. H. Freeman and Co., 1973.
Eddington A. S. Teorie relativity . - L.-M.: GTTI, 1934. - Přeložil Eddington, AS The Mathematical Theory of Relativity . — Cambridge University Press, 1922.
Ni W.-T. Teoretické rámce pro testování relativistické gravitace.IV. Kompendium metrických teorií gravitace a jejich POST Newtonovské limity // The Astrophysical Journal . - IOP Publishing , 1972. - Sv. 176 . — S. 769 . - doi : 10.1086/151677 . - .
Nordtvedt K. Princip ekvivalence pro masivní tělesa. II. Teorie (anglicky) // Physical Review. - 1968. - Sv. 169 . - S. 1017-1025 . - doi : 10.1103/PhysRev.169.1017 . - .
Nordtvedt K. Princip ekvivalence pro masivní tělesa včetně rotační energie a radiačního tlaku // Fyzikální přehled. - 1969. - Sv. 180 . - S. 1293-1298 . - doi : 10.1103/PhysRev.180.1293 . - .
Will CM teoretické rámce pro testování relativistické gravitace. II. Parametrizovaná post-newtonovská hydrodynamika a Nordtvedtův efekt // The Astrophysical Journal . - IOP Publishing , 1971. - Sv. 163 . — S. 611 . - doi : 10.1086/150804 . - .
Will CM Aktivní hmotnost v relativistické gravitaci - Teoretická interpretace Kreuzerova experimentu // The Astrophysical Journal . - IOP Publishing , 1976. - Sv. 204 . - str. 224-234 . - doi : 10.1086/154164 . - .
Will CM , Nordtvedt Jr., K. Zákony ochrany a preferované rámce v relativistické gravitaci. I. Preferred-Frame Theory and an Extended PPN formalism // The Astrophysical Journal . - IOP Publishing , 1972. - Sv. 177 . — S. 757 . - doi : 10.1086/151754 . - .