Hustota balení

Hustota balení v nějakém prostoru je zlomek prostoru vyplněného zabalenými tělesy (obrázky). Při problémech s balením je cílem obvykle získat balení s nejvyšší možnou hustotou.

V kompaktních prostorech

Jestliže K 1 ,…, Kn jsou měřitelné podmnožiny X kompaktní v měřeném prostoru a jejich množiny vnitřních bodů jsou párově disjunktní, pak kolekce { K i } je balení v X a hustota tohoto balení je rovna

.

V euklidovském prostoru

Pokud je prostor, který má být zabalen, nekonečný, jako je euklidovský prostor , hustota je tradičně definována jako limit hustot získaných balením do větších a větších koulí. Jestliže B t je koule o poloměru t se středem v počátku, pak hustota balení { K i  : i ∈ℕ} je rovna

.

Protože taková mez vždy neexistuje, je užitečné definovat horní a dolní hustotu jako horní a dolní mez. Pokud hustota existuje, horní a dolní hustota jsou stejné. Je-li zajištěno, že jakákoli koule v euklidovském prostoru protíná pouze konečný počet prvků výplně a jsou-li průměry prvků ohraničeny shora, nezávisí horní a dolní hustota na volbě původu a μ ( K i ∩ B t ) může být nahrazeno μ ( K i ) pro jakýkoli prvek protínající se s B t [1] . Kuličky mohou být nahrazeny homotetami nějakého jiného konvexního tělesa, ale obecně se výsledné hustoty mohou lišit.

Optimální hustota balení

Často je obal zvažován s omezením na použití prvků určitého souboru prvků. Sada prvků může například sestávat z kuliček určitého poloměru. Optimální hustota výplně nebo konstanta výplně spojená se sbírkou je přesná horní hranice horních hustot získaných výplní obsahující podsouboru sady prvků, ze kterých je výplň vytvořena. Pokud se daná sada prvků, které mají být zabaleny, skládá z konvexních těles omezeného průměru, existuje náplň, jejíž hustota je rovna konstantě balení, a tato konstanta balení se nemění, pokud jsou kuličky v definici hustoty nahrazeny rovnostami některých jiné konvexní těleso [1] .

Všechny euklidovské pohyby pevného konvexního tělesa K jsou zajímavé . V tomto případě se konstanta balení nazývá konstanta balení tělesa K. Keplerova domněnka se týká balící konstanty trojrozměrných koulí. Ulamova domněnka o balení uvádí, že 3D koule mají nejmenší konstantu balení ve srovnání s jinými konvexními tělesy. Všechny paralelní posuny pevného tělesa jsou také zajímavé a pro ně je zavedena konstanta balení paralelního posuvu tělesa.

Viz také

Poznámky

  1. ↑ 1 2 Groemer, 1986 , s. 183.

Literatura

Odkazy