Povrch Macbeath

McBeathova plocha , McBeathova křivka nebo Fricke-MacBeathova křivka [1] je povrch rodu 7 Hurwitz .

Vlastnosti

• Skupina automorfismu McBeathovy plochy je jednoduchá grupa PSL(2,8) sestávající z 504 symetrií. [2]

Konstrukce trojúhelníkové grupy

Fuchsovu povrchovou grupu lze sestrojit jako hlavní kongruenční podgrupu trojúhelníkové grupy (2,3,7) ve vhodné věži hlavních kongruenčních podgrup. Volba kvaternionové algebry a pořadí Hurwitzových kvaternionů je popsána na stránce trojúhelníkových grup. Zvolíme -li ideál v kruhu celých čísel, odpovídající hlavní podskupina kongruence definuje tento povrch rodu 7. Jeho systola je přibližně 5,796 a počet systolických smyček je podle výpočtů R. Vogelera 126.

Historie

Tento povrch byl původně objeven Robertem Fricke [3] , ale pojmenován po Alexandru Murray McBeath po jeho nezávislém pozdějším objevu stejné křivky [4] . Elkis píše, že ekvivalence křivek, které studovali Fricke a McBeath, si „možná poprvé všiml Serre v dopise Abyankarovi ze dne 24. července 1990“ [5] .

Viz také

• Kleinův kvartik
• První tři z Hurwitz

Poznámky

1. ↑ Povrch je v tomto případě chápán jako komplexní algebraická křivka (komplexní rozměr 1 = skutečný rozměr 2)
2. ↑ Wohlfahrt, 1985 , str. 239–247.
3. ↑ Fricke, 1899 , str. 321–339.
4. ↑ Macbeath, 1965 , s. 527–542.
5. ↑ Elkies, 1998 , str. 1–47.

Literatura

• Kevin Berry, Marvin Tretkoff. Curves, Jacobians a abelian variety, Amherst, MA, 1990. - Providence, RI: Contemp. Math., 136, Amer. Matematika. Soc., 1992, s. 31–40. .
• Emilio Bujalance, Antonio F. Costa. Matematické příspěvky. - Madrid: Editorial Complutense, 1994. - S. 375-385.
• ND Elkies. Algoritmická teorie čísel: Třetí mezinárodní symposium, ANTS-III / Joe P. Buhler. - Springer-Verlag, 1998. - T. 1423. - ( Poznámky k přednáškám z informatiky ). — ISBN 3-540-64657-4 . - doi : 10.1007/BFb0054849 . .
• R. Fricke. Über eine einfache Gruppe von 504 Operationen // Mathematische Annalen . - 1899. - T. 52 , č.p. 2–3 . - doi : 10.1007/BF01476163 . .
• R. Gofmann. Weierstrassovy body na Macbeathově křivce // ​​Vestnik Moskov. Univ. Ser. I mat. Mekh .. - 1989. - T. 104 , no. 5 . — S. 31–33 . . Překlad v Moskvě Univ. Matematika. Býk. 44 (1989), No. 5, 37-40.
• A. Macbeath. Na křivce rodu 7 // Proceedings of the London Mathematical Society . - 1965. - T. 15 . - doi : 10.1112/plms/s3-15.1.527 . .
• R. Vogeler. O geometrii Hurwitzových povrchů // Diplomová práce Florida State University. — 2003 .
• K. Wohlfahrt. Macbeathova křivka a modulární skupina // Glasgow Math. J .. - 1985. - T. 27 . - doi : 10.1017/S0017089500006212 . . Corrigendum, sv. 28, č. 2, 1986, str. 241, .