Operátorská semiskupina

Operátorová semigrupa je jednoparametrová rodina lineárně ohraničených operátorů v Banachově prostoru . Teorie operátorových pologrup vznikla v polovině 20. století v dílech takových známých matematiků jako Hille ( ang. Einar Hille ), Phillips ( ang. Ralph Saul Phillips ), Yosida , Feller . Hlavní aplikace této teorie jsou: abstraktní Cauchyovy problémy, parabolické rovnice , stochastické procesy .

Definice

Nechť je Banachův prostor . Pologrupa operátorů v prostoru je rodina omezených operátorů , splňující následující vlastnosti: $X$ $\{T_{t}\}_{t\geqslant 0}$ $X$ $T_{t}:X\to X$ $t\geqslant 0$

$T_{t}T_{s}=T_{t+s}$ , kde násobením operátorů je složení těchto zobrazení.
$T_{0}=I$ , kde je operátor identity v prostoru . $já$ $X$

Z definice pologrupy vyplývá, že pro každou pologrupu existují takové konstanty , že: $M>0,\alpha \in R$

\|T_{t}\|\leqslant Me^{\alpha t}.

Generátor poloskupin

Ústředním konceptem v teorii pologrup operátorů je koncept generátoru pologrupy. Generátorem pologrupy nebo infinitezimálním generujícím operátorem pologrupy je operátor ${\displaystyle T_{t))$

A:X\supset D(A)\to X

A\varphi =\lim \limits _{t\to 0}{\frac {T_{t}\varphi -\varphi }{t)),\ \varphi \in D(A),

kde doména je definována jako množina prvků tak, že daná limita existuje. Generátor pologrup je lineární, obecně řečeno, neomezený operátor. Pokud je pologrupa silně spojitá, pak je doména generátoru hustá v , a generátor samotný je uzavřený operátor. Na druhou stranu ne každý uzavřený, hustě definovaný operátor je generátorem pologrupy. Generátor je jednoznačně určen pologrupou; generátor jednoznačně definuje pologrupu, pokud je silně spojitá. $D(A)$ $X$

Typy pologrup

V závislosti na hladkosti s ohledem na parametr jsou uvažovány různé typy pologrup.

Pologrupa se nazývá rovnoměrně spojitá, pokud je splněna následující podmínka: ${\displaystyle T_{t))$

\lim \limits _{t\to s}\|T_{t}-T_{s}\|=0

kde limita je chápána ve smyslu topologie operátora .

Pologrupa se nazývá -pologrupa nebo silně spojitá pologrupa, pokud je splněna následující podmínka: ${\displaystyle T_{t))$ $C_{0}$

\lim \limits _{t\to s}\|T_{t}\varphi -T_{s}\varphi \|_{X}=0

pro jakýkoli pevný prvek . $\varphi \in X$

Kontraktační pologrupy hrají v aplikacích důležitou roli. Silně spojitá pologrupa je považována za kontrakční, pokud je splněna následující podmínka:

\|T_{t}\|\leqslant 1

Silně spojitá pologrupa se nazývá analytická pologrupa, pokud ji lze analyticky rozšířit na nějaký sektor ${\displaystyle T_{t))$

\Delta _{\delta }=\{\lambda \in C:|arg\lambda |<\delta ,Re\lambda >0\},\quad 0<\delta \leqslant \pi /2

takovým způsobem, který je kontinuální v . $T_{\lambda }$ ${\overline {\Delta }}_{\delta }$

Kritéria pro generátory pologrup

Lineární operátor v prostoru generuje stejnoměrně spojitou pologrupu právě tehdy, když je to omezený operátor. To znamená, že v konečněrozměrných prostorech jsou všechny pologrupy rovnoměrně spojité. $A$ $X$ $A$

Kritériem pro generátor silně spojité pologrupy je následující věta: Lineární operátor je generátor silně spojité pologrupy tehdy a jen tehdy, jsou-li splněny následující podmínky: $A$

Provozovatel je uzavřen. $A$
Doména definice je hustá v . $D(A)$ $X$
Existuje taková , že všechna čísla jsou pro operátora rozlišitelná . $\lambda _{0}$ ${\displaystyle \lambda \geqslant \lambda _{0))$ $A$
Existuje konstanta taková, že pro všechny nerovnosti $c_{1}>0$ ${\displaystyle \lambda >\lambda _{0))$

\|(\lambda IA)^{-k}\|\leqslant {\frac {c_{1}}{(\lambda -\lambda _{0})^{k}}},\quad k =1,2,\tečky

Pokud místo podmínky 4) podmínka

\|\lambda IA\|\leqslant {\frac {1}{\lambda -\lambda _{0))},

pak je operátor také generátorem silně spojité pologrupy. Tento případ je znám jako Hille-Yosidův teorém : lineární operátor je generátorem kontrahující pologrupy tehdy a pouze tehdy, jsou-li splněny následující podmínky: $A$ $\lambda _{0}=0$ $A$

Provozovatel je uzavřen. $A$
Doména definice je hustá v . $D(A)$ $X$
Všechna čísla jsou rozlišitelná pro operátora . $\lambda \geqslant 0$ $A$
Pro všechny platí následující nerovnost: $\lambda >0$ $\|\lambda IA\|\leqslant {\frac {1}{\lambda )),$

Aby byl generátor silně spojité pologrupy generátorem analytické pologrupy, je nutné vyžadovat podstatně větší podmínky na spektru operátoru . $A$ $A$

Operátor je generátorem analytické pologrupy tehdy a jen tehdy , když existují čísla a , že množina je prostá spektra operátoru a nerovnosti $A$ $\pi /2<\omega \leqslant \pi$ $q\geqslant 0$ ${\displaystyle \Omega _{q,\omega }=\{\lambda \in C:Re\lambda >\omega ,|\lambda |>q\))$ $A$

\|(\lambda IA)^{-1}\|\leqslant {\frac {c_{2}}{|\lambda |}},\quad \lambda \in \Omega _{q,\omega },

kde konstanta nezávisí na . $c_{2}>0$ $\lambda$

Dalším ekvivalentním kritériem pro generátor analytické pologrupy je, že generátor silně spojité pologrupy je generátorem analytické pologrupy, pokud

\|tAT_{t}\varphi \|_{X}\leqslant C,\quad \varphi \in X,\ t>0,

kde je konstanta nezávislá na . $C>0$ $t$

Poznámky

Literatura

Pazy A. Pologrupy lineárních operátorů a aplikace na parciální diferenciální rovnice. New York-Berlin-Heidelberg, Springer, 1983.
Kerin S. G. Lineární diferenciální rovnice v Banachově prostoru. — M.: Nauka, 1967.
Hille E., Phillips R. Funkční analýza a pologrupy. — M.: IL, 1962.
Kato T. Poruchová teorie lineárních operátorů. — M.: Mir, 1972.
Engel K.-J., Nagel R. Jednoparametrové pologrupy pro lineární evoluční rovnice. Springer-Verlag, NY, 2000.
R. V. Shamin. Pologrupy operátorů. M.: RUDN, 2008. - 205 s.