Polární moment setrvačnosti

Polární moment setrvačnosti je celočíselným součtem součinů ploch, elementárních ploch dA a druhé mocniny jejich vzdálenosti od pólu - ρ 2 , převzatých z celé plochy průřezu. to je:

J_{{p0}}=\int _{A}\rho ^{2}\,dA

Tato hodnota se používá k předpovědi schopnosti objektu odolávat kroucení . Má rozměr jednotek délky na čtvrtou mocninu ( m 4 , cm 4 ) a může být pouze kladný.

Pro plochu průřezu, která má tvar kruhu o poloměru r , je polární moment setrvačnosti:

J_{p0}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\phi ={ \frac {\pi r^{4}}{2}}={\frac {\pi (D/2)^{4}}{2}}={\frac {\pi D^{4}}{ 32}}.

Pokud spojíme počátek kartézského pravoúhlého systému souřadnic 0 s pólem polárního systému (viz obrázek), pak:

J_{{p0}}=J_{x}+J_{y}

protože $\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}.$

Aplikace

Polární moment setrvačnosti se používá ve vzorcích, které popisují vztah mezi smykovými napětími a kroutícím momentem , který je způsobuje. Smykové napětí:

\tau ={\frac {Tr}{J_{{p0))))

kde

T

- točivý moment

r

- vzdálenost od osy kroucení

{J_{{p0}}}}

je polární moment setrvačnosti.

Polární moment setrvačnosti pro některé případy

Pro kulatou pevnou část:

J_{{p0}}={\frac {\pi D^{4}}{32}}

kde je průměr kruhu. $D$

Pro prstencový profil (dutý hřídel):

J_{p0}={\frac {\pi D^{4}}{32}}\left(1-{\frac {d^{4}}{D^{4}}}\right) ,

kde je vnější průměr prstenu,

D

d

je vnitřní průměr prstenu.

Viz také

Polární moment odporu
Moment setrvačnosti

Literatura

Feodosiev V.I. Odolnost materiálů. Ed. 10., revidováno. a doplňkové - M.: MSTU im. N. E. Bauman, 1999. Recenzenti Akademik Ruské akademie věd Obrazcov I.F. a doktor technických věd profesor Chirkov I.P.