Generování množiny skupiny

Generující množina grupy (nebo množina generátorů [1] , resp . soustava generátorů ) je podmnožinou v takovém, že každý prvek lze zapsat jako součin konečného počtu prvků a jejich převrácených hodnot. $G$ $S$ $G$ $G$ $S$

Definice

Dovolit být podmnožinou skupiny . Definujeme — podskupinu generovanou — jako nejmenší podskupinu obsahující všechny prvky , tedy průnik všech podskupin obsahujících . Ekvivalentně je podskupina všech prvků , které lze reprezentovat jako konečné součiny prvků a jejich převrácené hodnoty . $S$ $G$ $\langle S\rangle$ $S$ $G$ $S$ $S$ $\langle S\rangle$ $G$ $S$

Jestliže , pak říkáme , že to generuje skupinu . Prvky se nazývají generátory skupiny. Pokud má skupina konečnou množinu generátorů, pak se nazývá konečně generovaná skupina . $G=\langle S\rangle$ $S$ $G$ $S$ $G$

Poznámky

Všimněte si, že pokud je prázdný, pak je podle definice triviální skupina sestávající z neutrálního prvku. $S$ $\langle S\rangle$

Pokud obsahuje pouze jeden prvek , obvykle se zapisuje místo . V tomto případě je cyklická podskupina stupňů v . $S$ $X$ $\langle x\rangle$ $\langle \{x\}\rangle$ $\langle x\rangle$ $X$ $G$

Generování pologrup a monoidů

Pro případ, kdy je pologrupa nebo monoid, lze také zavést podobný koncept generující množiny: generuje jako pologrupu nebo monoid, pokud se jedná o minimální pologrupu nebo minimální monoid obsahující . $G$ $S$ $G$ $G$ $S$

Takovou definici lze vyjádřit také v jazyce reprezentovatelnosti prvků jako kombinaci. Pro pologrupu můžeme říci, že jde o generující množinu, pokud lze každý prvek reprezentovat jako konečný součin prvků z . U monoidu můžeme říci, že se jedná o generující množinu, jestliže každý prvek , kromě neutrálního, lze reprezentovat jako konečný součin prvků z . $S$ $G$ $S$ $S$ $G$ $S$

Kvůli rozdílům v definicích může být stejná sada generována v jednom smyslu, ale ne v jiném. Například pro monoid nezáporných celých čísel bude generující množina , ale pro pologrupu to již není generující množina, protože 0 nemůže být reprezentována jako součet jednotek. Podobně pro skupinu je generující množina, ale ne pro monoid, protože definice generující množiny pro monoid nezahrnuje přijímání inverzí. $(\mathbb {N} _{\geq 0},+)$ $S=\{1\}$ $(\mathbb {N} _{\geq 0},+)$ $S$ $\mathbb {Z}$ $\{jeden\}$

Generování množiny skupiny

Definice

Poznámky

Generování pologrup a monoidů

Viz také

Poznámky

Literatura