Galileovské transformace

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. října 2021; kontroly vyžadují 6 úprav .

Galileovské transformace - v klasické mechanice ( Newtonova mechanika ) a nerelativistické kvantové mechanice : transformace souřadnic a rychlosti při přechodu z jedné inerciální vztažné soustavy (ISR) do druhé [1] . Termín navrhl Philipp Frank v roce 1909 [2] . Galileiho transformace jsou založeny na Galileově principu relativity , který implikuje stejný čas ve všech referenčních systémech ("absolutní čas" [3] ).

Galileovské transformace jsou limitujícím (speciálním) případem Lorentzových transformací pro rychlosti, které jsou malé ve srovnání s rychlostí světla ve vakuu a v omezeném objemu prostoru. Pro rychlosti až do řádu rychlostí planet ve sluneční soustavě (a ještě vyšších) jsou Galileovy transformace přibližně správné s velmi vysokou přesností.

Požadavek (postulát) principu relativity spolu s Galileovými transformacemi, které se zdají zcela intuitivně samozřejmé, lze považovat do značné míry za určující strukturu newtonovské mechaniky. Spolu s takovými dodatečnými myšlenkami, jako je symetrie prostoru a princip superpozice v té či oné formě (uvádějící ekvivalenci interakce mnoha těles v krátkém časovém intervalu složení pomyslných po sobě jdoucích párových interakcí těchto těles), Galileiho transformace může být prakticky dostatečným základem pro formulaci newtonovské mechaniky (závěr jejích základních zákonů).

Typ transformací pro kolineární osy [4]

Pokud se IFR S' pohybuje vzhledem k IFR S konstantní rychlostí podél osy a počátky se shodují v počátečním čase v obou systémech, pak Galileovy transformace mají tvar: $u\$ $X\$

x=x'+ut,\

{y}=y',\

{z}=z',\

t=t'\

nebo pomocí vektorového zápisu

{\vec {r}}={\vec {r}}'+{\vec {u}}t,\

t=t'\

(poslední vzorec platí pro jakýkoli směr souřadnicových os).

Jak vidíte, jsou to jen vzorce pro posun počátku, který je lineárně závislý na čase (který je předpokládán stejný pro všechny referenční systémy).

Z těchto transformací vyplývá vztah mezi rychlostmi bodu a jeho zrychleními v obou vztažných soustavách:

{\vec {v}}={\vec {v'}}+{\vec {u}},

{\vec {a}}={\vec {a'}}

Galileovské transformace jsou limitujícím (speciálním) případem Lorentzových transformací pro nízké rychlosti (mnohem menší než rychlost světla). $u\ll c$

Galileova skupina

Galileovská grupa je souborem transformací třídy inerciálních vztažných soustav do sebe, kombinovaných s časovými překlady. [5] Hlavní transformace galilejské skupiny jsou také skupiny:

Časové překlady odpovídající změně původu časové reference: $P_{0}:t\rightarrow t'=t+\tau ,\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x'} =\mathbf {x}$
Překlady prostoru odpovídající změně počátku souřadnic: $P_{3}:t\rightarrow t'=t,\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x'} =\mathbf {x} +\mathbf {a}$
Galileovy transformace , spojující referenční systémy pohybující se relativní rychlostí : $\mathbf{v}$ ${\displaystyle K:t\rightarrow t'=t,x_{k}\rightarrow x_{k}'=-v_{k}t+x_{k))$
Rotace kartézských os : . Tvoří zvláštní ortogonální skupinu trojrozměrného prostoru . ${\displaystyle R:t\rightarrow t'=t,x_{k}\rightarrow x_{k}'=R_{kl}x_{l))$ $SO(3)$

zde - čas, - souřadnice v euklidovském prostoru , - relativní rychlost vztažných soustav, - ortogonální matice . $t$ $\mathbf {x}$ $R^{3}$ $\mathbf{v}$ $R$

Generátory Galileových skupin

Označme jako generátory grupy rotací, - generátory časoprostorových translací, - generátory Galileových transformací, symbol - komutátor Lieovy algebry . Generátory Galileovy grupy jsou spojeny následujícími komutačními vztahy: [6] ${\displaystyle l_{k))$ $P_{\mu },\mu =0,1,2,3$ $K_{i},i=1,2,3$ $[...,...]$

{\displaystyle [l_{k},l_{m}]=\varepsilon _{kmn}l_{n))

{\displaystyle [l_{k},P_{m}]=\varepsilon _{kmn}P_{n))

{\displaystyle [l_{k},K_{m}]=\varepsilon _{kmn}K_{n))

[l_{k},P_{0}]=[P_{\mu },P_{\nu }]=[K_{m},K_{n}]=[P_{m},K_{n }]=0

{\displaystyle [P_{0},K_{m}]=P_{m))

zde: , - strukturní konstanty algebry - matice. $k,m,n=1,2,3;\mu ,\nu =0,1,2,3$ $\varepsilon _{kmn}$ $\sigma$

Vzorec pro převod rychlosti

Stačí ve výše uvedeném vzorci Galileiových transformací diferencovat a hned dostaneme vzorec transformace rychlosti uvedený ve stejném odstavci vedle. ${\vec {r))$

Uveďme elementárnější, ale také obecnější závěr - pro případ libovolného pohybu vztažného bodu jednoho systému vůči druhému (při absenci rotace). Pro takový obecnější případ můžete získat vzorec pro převod rychlosti například takto.

Uvažujme transformaci libovolného posunu počátku na vektor , ${\vec r}_{o}$

kde poloměr-vektor nějakého tělesa A v referenční soustavě K bude označen jako , a v referenční soustavě K' - as , ${\vec {r))$ ${\vec {r'}}$

což znamená, jako vždy v klasické mechanice, že čas v obou vztažných soustavách je stejný a všechny vektory poloměru závisí na tomto čase: . $t$ ${\vec r}_{o}={\vec r}_{o}(t),{\vec r}={\vec r}(t),{\vec {r'))={\vec {r'}} (t)$

Pak kdykoliv

{\vec r}={\vec r}_{o}+{\vec {r'))

a zejména s ohledem

\Delta {\vec r}={\vec r}(t+\Delta t)-{\vec r}(t),~\Delta {\vec r}_{o}={\vec r}_{o }(t+\Delta t)-{\vec r}_{o}(t),~\Delta {\vec {r'}}={\vec {r'}}(t+\Delta t)-{\ vec{r'}}(t)

my máme:

{\begin{matrix}{\vec r}(t)={\vec r}_{o}(t)+{\vec {r'}}(t)\\{\vec r}(t+\Delta t)={\vec r}_{o}(t+\Delta t)+{\vec {r'}}(t+\Delta t)\end{matrix}}({\Bigg \}}}\quad \ Šipka vpravo \quad \Delta {\vec r}=\Delta {\vec r}_{o}+\Delta {\vec {r'))\quad \Rightarrow \quad {\frac {\Delta {\vec r} }{\Delta t))={\frac {\Delta {\vec r}_{o)){\Delta t))+{\frac {\Delta {\vec {r'))}{\Delta t }}

$\Rightarrow \quad \langle {\vec {V}}\rangle =\langle {\vec {V}}_{o}\rangle +\langle {\vec {V'}}\rangle$

kde:

\langle {\vec {V}}\rangle

je průměrná rychlost tělesa A vzhledem k soustavě K ;

\langle {\vec {V))'\rangle

- průměrná rychlost tělesa A vzhledem k soustavě K' ;

\langle {\vec {V}}_{o}\rangle

je průměrná rychlost systému K ' vzhledem k systému K.

Pokud se pak průměrné rychlosti shodují s okamžitými : $\Delta t\rightarrow 0$

{\vec {V}}\;=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\;{\Bigg (}\langle {\vec {V}}_{o}\rangle +\langle { \vec {V'}}\rangle {\Bigg )}={\vec {V}}_{o}+{\vec {V'}}

nebo kratší

{\vec V}\;={\vec V}_{o}+{\vec {V'}}

- pro průměrné i okamžité rychlosti (vzorec pro přidání rychlosti).

Rychlost tělesa vzhledem k pevnému souřadnicovému systému je tedy rovna vektorovému součtu rychlostí tělesa vzhledem k pohyblivému souřadnicovému systému a rychlosti referenčního systému vzhledem k pevnému referenčnímu systému.

(Podobně lze získat vzorec pro transformaci zrychlení při pohybu z jednoho souřadnicového systému do druhého, což je správné za předpokladu, že pohyb systémů vůči sobě je rovnoměrně zrychlený a translační:) . ${\vec a}={\vec {a'}}+{\vec {a_{o}}}$

Galileovské transformace v nerelativistické kvantové mechanice

Schrödingerova rovnice v nerelativistické kvantové mechanice je při Galileových transformacích invariantní. Z této skutečnosti vyplývá řada důležitých důsledků: existence řady operátorů kvantové mechaniky spojených s Galileovými transformacemi ( Schrödingerova skupina ), nemožnost popsat stavy s hmotnostním spektrem nebo nestabilní elementární částice v nerelativistické kvantové mechanice ( Bargmannova věta ), existence kvantově mechanických invariantů generovaných Galileovými transformacemi [7] .

Poznámky

↑ Protože jsou Galileovy transformace čistě kinematické, lze je použít i na neinerciální vztažné soustavy – ale pouze za podmínky jejich rovnoměrného přímočarého posuvného pohybu vůči sobě navzájem – což v takových případech omezuje jejich důležitost. Spolu s privilegovanou rolí inerciálních vztažných soustav vede tato skutečnost k tomu, že se v naprosté většině případů o Galileových transformacích hovoří právě v souvislosti s posledně jmenovanými.
↑ Frank P./Sitz. Ber. Akad. Wiss. Wien.—1909.—Ila, Bd 118.—S. 373 (zejm. str. 382).
↑ Od absolutního času musela být fyzika, obecně řečeno, na počátku 20. století opuštěna - aby byl zachován princip relativity v jeho silné formulaci, z níž vyplývá požadavek, aby všechny základní fyzikální rovnice byly zapsány identicky v libovolném (inerciální; a později byl princip relativity rozšířen na neinerciální) referenční systém.
↑ Zásadní zájem z hlediska fyziky je pouze případ, kdy souřadnicové osy (pokud je vůbec reprezentace souřadnic použito; tuto problematiku lze považovat za irelevantní pro symbolickou vektorovou formu zápisu) inerciálních soustav, mezi kterými transformace se provádí stejným způsobem. V zásadě mohou být směrovány různými způsoby, ale transformace tohoto druhu jsou pouze technicky zajímavé z fyzikálního hlediska, protože jsou redukovány na složení transformace se souměrnými osami, o kterých se uvažuje v tomto článku, a pevné (časově nezávislá) rotace souřadnicových os , představující čistě geometrický problém, navíc v principu jednoduchý. Rotace os, která závisí na čase, by znamenala rotaci souřadnicových systémů vůči sobě a alespoň jedna z nich by pak nemohla být inerciální.
↑ Lyakhovsky V.D. , Bolokhov, A.A. Skupiny symetrie a elementární částice. - L., Leningradská státní univerzita , 1983. - str. jedenáct
↑ Lyakhovsky V.D. , Bolokhov, A.A. Skupiny symetrie a elementární částice. - L., Leningradská státní univerzita , 1983. - str. osmnáct
↑ Kaempfer, 1967 , str. 390.

Literatura

Kaempfer F. Základy kvantové mechaniky. — M .: Mir, 1967. — 391 s.

Viz také

Galileo Galilei
Biografie a vědecké úspěchy	Galileovský proces • Únik Galileových hodin • Galileovské satelity • Galileovské transformace • Zkoumání padajících těles • Termoskop • Celaton • Galileovský paradox
Sborník	Assayer • Dialog o dvou hlavních systémech světa • Sidereus Nuncius • Konverzace a matematické důkazy dvou nových věd
Rodina	Vincenzo Galilei (otec) • Michelangelo Galilei (bratr) • Vincenzo Gamba (syn) • Maria Celesta (dcera) • Marina Gamba (manželka)