Redukovaný polynom

V algebře komplexních čísel je redukovaný polynom polynom v jedné proměnné s jednotkovým vedoucím koeficientem [1] . Předstihový koeficient polynomu je násobitelem pro monočlen nejvyššího stupně [2] . V souladu s tím má redukovaný polynom vzhledem k jedné proměnné x tvar

kde a n −1 , …, a 0 jsou koeficienty.

Polynomiální redukce

V množině komplexních čísel je prvek 1 ( jedna ), neutrální vzhledem k násobení, a když se sečtou, odečtou, vynásobí a vydělí nenulovým číslem, vždy dostaneme komplexní číslo, tzn. tato množina je pole , což znamená, že libovolný polynom lze na tomto poli redukovat na redukovaný polynom, jehož kořeny by zůstaly stejné, dělením vedoucím koeficientem. Podle základní věty algebry a Bezoutovy věty lze jakýkoli komplexní polynom rozložit jako n ( x −  x  1 ) …( x  −  x n ), kde x 1 , …, x n jsou všechny kořeny polynomu , přičemž vezmeme-li v úvahu jejich násobnost , a a n se ukazuje jako vedoucí faktor. Proto, když převedeme jakýkoli polynom jedné proměnné na redukovaný polynom, lze jej reprezentovat jako ( x  −  x 1 )…( x  −  x n ). Ukazuje se tedy, že v oboru komplexních čísel je jednoznačně definován redukovaný polynom, který má s přihlédnutím k násobnosti stejné kořeny jako původní .

Nemovitost

Uzavření pod násobením

Množina všech redukovaných polynomů (s koeficienty nad nějakým kruhem as proměnnou x ) je uzavřena násobením, to znamená, že součin redukovaných polynomů je vždy redukovaný polynom.

Celočíselná algebraická čísla

Algebraické celé číslo je číslo, které může být kořenem nějakého redukovaného polynomu s celočíselnými koeficienty [3] . Celočíselná algebraická čísla, zhruba řečeno, zobecňují celá čísla podle stejného principu, podle kterého se racionální čísla zobecňují na algebraická čísla : má-li algebraické číslo první mocninu , je racionální, a je- li celé číslo algebraické, pak je celé číslo . Šablona:Sfb .

Minimální polynom

Algebraická čísla, která jsou „racionálními“ zobecněními algebraických celých čísel, jsou čísla, která mohou být reprezentována jako kořeny nějakého polynomu s racionálními koeficienty, které nejsou shodně rovné nule. Takových polynomů je nekonečně mnoho: lze je vytvořit vynásobením původního polynomu nenulovým koeficientem, stejně jako lineárním faktorem.

Mezi všemi těmito polynomy je „nejoptimálnější“ minimální polynom. Minimální polynom (s koeficienty z nějakého pole obsahujícího jeden) algebraického čísla je redukovaný polynom nejmenšího stupně.

Poznámky

  1. ↑ Vinberg, 2013 , str. 99.
  2. ↑ Vinberg, 2013 , str. 91.
  3. ↑ Vinberg, 2013 , str. 385.

Literatura

Vinberg E.B. Kurz algebry. - 2., vymazáno .. - MTsNMO, 2013. - 590 s. - ISBN 978-5-4439-0209-8 .