Duhamelův princip

V matematice a konkrétněji v diferenciálních rovnicích umožňuje Duhamelův princip najít řešení rovnice nehomogenního vlnění a také rovnice nehomogenního tepla [1] . Je pojmenována po Jean-Marie Constant Duhamel (1797–1872), francouzském matematikovi.

Je dána nehomogenní vlnová rovnice:

u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t)

s počátečními podmínkami

u(x,0)=u_{t}(x,0)=0.

Řešení vypadá takto:

u(x,t)={\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{xc(ts)}^{x+c(ts)}f( \xi ,s)\,d\xi \,ds.

Pro lineární ODR s konstantními koeficienty

Duhamelův princip říká, že řešení nehomogenní lineární parciální diferenciální rovnice lze nalézt nalezením řešení pro homogenní rovnici a jejím dosazením do Duhamelova integrálu . Předpokládejme, že máme nehomogenní obyčejnou diferenciální rovnici s konstantními koeficienty řádu m:

P(\partial _{t})u(t)=F(t)

\partial _{t}^{j}u(0)=0,\;0\leq j\leq m-1

kde

P(\partial _{t}):=a_{m}\partial _{t}^{m}+\cdots +a_{1}\partial _{t}+a_{0},\; a_{m}\neq 0.

Homogenní ODR můžeme nejprve vyřešit pomocí následujících metod. Všechny kroky jsou prováděny formálně, ignorujíc požadavky nutné k tomu, aby bylo řešení jasně definováno.

P(\partial _{t})G=0,\;\partial _{t}^{j}G(0)=0,\quad 0\leq j\leq m-2,\;\ částečná _{t}^{m-1}G(0)=1/a_{m}.

Definujte , - charakteristickou funkci na intervalu . Pak ${\displaystyle H=G\chi _{[0,\infty )))$ ${\displaystyle \chi _{[0,\infty )))$ $[0,\infty)$

P(\partial _{t})H=\delta

je generická funkce .

u(t)=(H\ast F)(t)

=\int _{0}^{\infty }G(\tau )F(t-\tau )\,d\tau

=\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau )F(\tau )\,d\tau

existuje řešení ODR.

Pro parciální diferenciální rovnice

Nechť existuje nehomogenní parciální diferenciální rovnice s konstantními koeficienty:

P(\partial _{t},D_{x})u(t,x)=F(t,x)

kde

D_{x}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}

Homogenní ODR můžeme nejprve vyřešit pomocí následujících metod. Všechny kroky jsou prováděny formálně, ignorujíc požadavky nutné k tomu, aby bylo řešení jasně definováno.

Nejprve pomocí Fourierovy transformace x , kterou máme