Zásada nejmenšího donucení

Princip nejmenšího omezení neboli Gaussův princip spočívá v tom, že v každém okamžiku se skutečný pohyb systému působením aktivních sil a vystavený ideálním omezením liší od všech kinematicky možných pohybů provedených ze stejné výchozí konfigurace. a se stejnými počátečními rychlostmi, vlastností, že pro skutečný pohyb je míra odchylky od volného pohybu, tedy donucení, minimální.

Princip nejmenšího omezení je jedním z diferenciálních variačních principů mechaniky a byl navržen [1] K. F. Gaussem v roce 1829 ve své práci „O novém obecném zákonu mechaniky“ . Princip je aplikovatelný na mechanické systémy s ideálními vazbami a Gauss jej formuloval takto: „pohyb soustavy hmotných bodů, vzájemně propojených libovolným způsobem a podléhajících jakémukoli vlivu, se v každém okamžiku odehrává tím nejdokonalejším možným způsobem, v v souladu s pohybem, který tyto body, pokud se všechny uvolní, tj. nastanou s co nejmenším nátlakem, pokud jako míru nátlaku působícího během nekonečně malého okamžiku vezmeme součet součinů hmotnosti každého bodu druhou mocninou velikosti jeho odchylky od polohy, kterou by zaujímal, kdyby byl volný“ [2] .

Gaussova formulace principu nebyla dostatečně jednoznačná. Pro analytickou formulaci tohoto principu měla velký význam práce G. Schefflera (1820-1903) „O Gaussově základním zákonu mechaniky“ , publikovaná v roce 1858 [3] , v níž Scheffler nově definoval [4] donucení jako následující (v moderní notaci [5]): ) výraz:

Z\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\overset {}{{\overset {N}({\underset {i=1}{\sum )))))))\, m_{{i}}\left({\mathbf {w}}_{{i}}-{\frac {{\mathbf {F}}_{{i}}}{m_{{i}}}} \right)^{{2}}

kde je počet bodů zahrnutých v systému, je hmotnost tého bodu, je výslednice aktivních sil, které na něj působí, je zrychlení daného bodu (ve skutečnosti Scheffler použil skalární formu zápisu a neměl faktor před znakem součtu). Poté se existence minima pro funkci stala matematickým vyjádřením principu nejmenšího omezení . $N$ $m_{{i}}$ $i$ ${\mathbf {F}}_{{i}}$ ${\mathbf {w}}_{{i}}$ $Z$

Odůvodnění

Nechť je bod mechanické soustavy s hmotou v daném okamžiku v poloze . Při volném pohybu urazí bod vzdálenost ve velmi malém intervalu (obr. 1), kde je rychlost bodu v daném čase . Pokud na bod působí aktivní síla, bod se vlivem této síly pohne . Rozšířením vektoru posunutí do řady v čase budeme mít: $m_{{i}}$ ${\displaystyle t_{0))$ $M_{i}$ $\tau$ ${\overline {M_{i}A_{i))}\,=\,\mathbf {v} _{i}\,\tau$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i))$ $t_0$ ${\mathbf {F}}_{{i}}$ ${\displaystyle {\overline {M_{i}B_{i))))$

\mathbf {r} (t_{0}+\tau )\;=\;\mathbf {r} (t_{0})+{\overset {\cdot }{\mathbf {r} }}( t_{0})\,\tau +{\frac {1}{2}}\;{\overset {\cdot \cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\,\tau ^ {2}+...

Ale

{\overset {\cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\;=\;\mathbf {v} ,\;\;{\overset {\cdot \cdot }{\ mathbf {r} }}(t_{0})\;=\;{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}

Proto se tento posun až do malého třetího řádu bude rovnat:

{\overline {M_{i}B_{i}}}\;=\;\mathbf {v} _{i}\,\tau +{\frac {1}{2}}\;{\ frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}\,\tau ^{2}

Pokud jsou naopak na bod uvaleny vazby , pak se jeho pohyb působením síly a za přítomnosti vazeb bude až do malého třetího řádu rovnat: ${\mathbf {F}}_{{i}}$

{\overline {M_{i}C_{i}}}\;=\;\mathbf {v} _{i}\,\tau +{\frac {1}{2}}\;\mathbf {w} _{i}\,\tau ^{2}

kde je zrychlení bodu při jeho skutečném pohybu. Potom bude odchylka bodu od volného pohybu reprezentována vektorem . To je zřejmé ${\mathbf {w}}_{{i}}$ ${\displaystyle {\overline {B_{i}C_{i))))$

{\overline {B_{i}C_{i}}}\;=\;{\overline {M_{i}C_{i}}}-{\overline {M_{i}B_{i}} }\;=\;{\frac {1}{2}}\;\tau ^{2}\left(\mathbf {w} _{i}-{\frac {\mathbf {F} _{i} }{m_{i}}}\right)

do malého třetího řádu. Jako míru odchylky bodu od volného pohybu Gauss vzal hodnotu úměrnou druhé mocnině odchylky , kterou nazval donucení . Síla pro bod s hmotností má následující výraz: ${\displaystyle {\overline {B_{i}C_{i))))$ $m_{{i}}$

Z_{i}\;=\;{\frac {1}{2}}\;m_{i}\left(\mathbf {w} _{i}-{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}}\right)^{2}

Sečtením omezení pro všechny body systému dostaneme:

Z\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\overset {}{{\overset {N}({\underset {i=1}{\sum )))))))\, m_{{i}}\left({\mathbf {w}}_{{i}}-{\frac {{\mathbf {F}}_{{i}}}{m_{{i}}}} \right)^{{2}}

Z definice uvedené na začátku článku vyplývá, že pro zrychlení při skutečném pohybu

\delta \,Z\;=\;0

navíc se změna bere pouze u zrychlení, zatímco souřadnice a rychlosti se považují za nezměněné. Variace tohoto druhu se nazývá Gaussova variace .

Význam Gaussova principu

Jedním z prvních, kdo vysoce ocenil důležitost Gaussova principu nejmenšího omezení, byl vynikající ruský matematik a mechanik M. V. Ostrogradskij , který přikládal zvláštní význam Gaussovu přístupu k pochopení souvislostí. Ostrogradskij ve své monografii z roku 1836 „O okamžitých posunech systému podléhajícího proměnným podmínkám“ poukázal na takový důsledek Gaussova principu: tlak na spoje z bodů systému při skutečném pohybu systému by měl být minimální. na jiné kinematicky proveditelné pohyby [6] . V roce 1878 dal I. I. Rachmaninov [7] Gaussovu principu energetickou interpretaci a přeformuloval jej na princip nejméně ztracené práce [8] .

Francouzský matematik J. Bertrand popsal Gaussův princip jako „krásnou větu obsahující současně obecné zákony rovnováhy a pohybu a zjevně nejobecnější a nejelegantnější výraz, který jim byl dán“ [9] .

Princip nejmenšího omezení má velmi širokou obecnost, protože je aplikovatelný na širokou škálu mechanických systémů: konzervativní a nekonzervativní, holonomní a neholonomní. Proto se zejména často používá [10] jako výchozí bod pro odvození pohybových rovnic neholonomních systémů . Gaussův princip se přitom využívá i přímo - v úlohách souvisejících s počítačovou simulací dynamiky soustav pevných těles (zejména manipulačních robotů ); v tomto případě se numerická minimalizace donucení provádí metodami matematického programování [11] .

Gaussův princip je zobecněn [12] na případ osvobození systému od části omezení [13] [14] , dále na případ systémů omezených neideálními omezeními a na případ spojitých médií [ 15] .

Viz také

Bolotov, Jevgenij Alexandrovič

Poznámky

↑ Tyulina, 1979 , str. 178.
↑ Gauss K. O novém obecném principu mechaniky: Sat. články / Ed. L. S. Polák. — M .: Fizmatgiz , 1959. — 932 s. - S. 170-172.
↑ Moiseev, 1961 , str. 334.
↑ Tyulina, 1979 , str. 179-180.
↑ Markeev, 1990 , s. 90.
↑ Moiseev, 1961 , str. 336.
↑ Rachmaninov I. I. Začátek nejméně ztracené práce jako obecný počátek mechaniky // Izv. Kyjevská univerzita . 1878. č. 4. - S. 1-20.
↑ Markeev, 2000 , str. 38-39.
↑ Pogrebyssky, 1964 , s. 270.
↑ Golubev Yu.F. Základy teoretické mechaniky. - M. : Moskevské nakladatelství. un-ta, 2000. - 719 s. — ISBN 5-211-04244-1 . - S. 427.
↑ Vereshchagin A.F. Gaussův princip nejmenšího omezení v dynamice aktuátorů robotů // Popov E.P. , Vereshchagin A.F., Zenkevich S.L. Manipulační roboty: dynamika a algoritmy. — M .: Nauka , 1978. — 400 s. - S. 77-102.
↑ Markeev, 2000 , str. 43.
↑ Bolotov E. A. Na Gaussově principu // Izv. Fyzikální matematika o-va v Kazani. un-těch. Ser. 2 . 1916. V. 21, č. 3. - S. 99-152.
↑ Chetaev N. G. Na Gaussově principu // Izv. Fyzikální matematika o-va v Kazani. un-těch. Ser. 3 . 1932-1933. T. 6. - S. 68-71.
↑ Rumyantsev V.V. O některých variačních principech v mechanice kontinua // Prikl. matematika. a kožešiny. 1973. T. 37. Vydání. 6. - S. 963-973.

Literatura

Variační principy mechaniky: Sat. články / Ed. L. S. Polák . — M .: Fizmatgiz , 1959. — 932 s.
Lanczos K. Variační principy mechaniky . — M .: Mir , 1965. — 408 s.
Markeev A.P. Na Gaussově principu // Sbírka vědeckých a metodologických článků. Teoretická mechanika. Problém. 23. - M . : Moskevské nakladatelství. un-ta, 2000. - 264 s. - S. 29-45.
Markeev A.P. Teoretická mechanika. — M .: Nauka , 1990. — 416 s. — ISBN 5-02-014016-3 .
Moiseev N. D. Eseje o historii vývoje mechaniky. - M. : Moskevské nakladatelství. un-ta, 1961. - 478 s.
Pogrebyssky I. B. Od Lagrange k Einsteinovi: Klasická mechanika 19. století. — M .: Nauka , 1964. — 327 s.
Tyulina I. A. Historie a metodologie mechaniky. - M. : Moskevské nakladatelství. un-ta, 1979. - 282 s.
Tsyganova N. Ya. Hlavní fáze vývoje principu nejmenšího donucení // Historie a metodologie přírodních věd. - M. : MGU, 1979. - Vydání. 9 . - S. 122-134 .