Projektivní rovina

Projektivní rovina je dvourozměrný projektivní prostor . Důležitým speciálním případem je skutečná projektivní rovina .

Projektivní rovina se vyznačuje důležitou rolí, kterou hraje tzv. Desarguesův axiom , což je teorém v projektivních prostorech vyšších dimenzí.

Definice

Projektivní rovina nad tělesem

Projektivní rovina nad tělem je množina jednorozměrných podprostorů (čar procházejících nulou) trojrozměrného lineárního prostoru . Tyto přímky se nazývají body projektivní roviny. Projektivní rovina nad tělem se obvykle označuje , například , , , a tak dále. $K$ $K^{3}$ $K$ $K{\mathrm {P}}^{2}$ $\mathbb{R} {\mathrm {P}}^{2}$ ${\mathbb {C}}{\mathrm {P}}^{2}$ ${\mathbb {H}}{\mathrm {P}}^{2}$

Axiomatická definice

Klasická projektivní rovina П je definována následujícími axiomy. První čtyři z nich jsou povinné.

P1. Přes dva různé body P a Q roviny P vede přímka, a to pouze jedna.
P2. Jakékoli dvě čáry mají společný bod.
P3. Existují tři body, které neleží na stejné přímce.
P4. Každý řádek obsahuje alespoň tři body.

Další axiomy jsou následující:

P5. Desargueův axiom. Jsou-li trojúhelníky ABC a A'B'C' takové, že přímky AA' , BB' a CC' se protínají v bodě O , pak průsečíky dvojic odpovídajících stran AB a A'B' (P) , BC a B'C' (R) , AC a A'C'(Q) leží na stejné přímce.
P6. Axiom Pappus. Jestliže l a l' jsou dvě různé přímky, A, B, C jsou tři různé body na přímce l a A', B', C' jsou tři různé body l' a všechny tyto body se liší od O - průsečíky přímek l a l' , pak průsečíky dvojic odpovídajících si stran AB' a A'B (P) , BC' a B'C (R) , AC' a A'C (Q ) leží na stejné přímce.
P7. Fanův axiom. Nechť A, B, C, D jsou body, z nichž žádné tři neleží na stejné přímce. Nakreslete všech šest čar spojujících tyto body (AB, AC, AD, BC, BD, CD) . Průsečík AB a CD označme P , AC a BD Q a AD a BC R ( diagonální body) . Tyto diagonální body neleží na přímce.

Příklady

Skutečná projektivní rovina .
Letadlo Fano
Moltonova rovina je příkladem nedesarguesovské projektivní roviny.

Vlastnosti

Pro jakoukoli projektivní rovinu nad tělesem platí axiomy P1-P4 a Desarguesův axiom P5. Naopak, platí-li Desarguesův axiom P5 v rovině П , pak jde o projektivní rovinu nad nějakým tělesem . $K$

Pokud platí Pappusův axiom P6 a axiomy P1-P4, pak platí i Desarguesův axiom P5. V tomto případě P je projektivní rovina nad polem (tj. těleso K je komutativní). Naopak Pappusův axiom platí v jakékoli projektivní rovině nad polem.

Pokud platí axiomy P1–P4 a Desarguesův axiom P5, pak platí Fanoův axiom P7 právě tehdy, když P je projektivní rovina nad dělicím prstencem charakteristiky ≠2. $K$

Topologie reálné projektivní roviny

Reprezentujme skutečnou projektivní rovinu P²( R ) jako množinu přímek v R³ . Jeho body tvoří svazek všech čar procházejících počátkem. Postavme jednu kouli. Potom každá z našich přímek (bod P²( R )) protíná kouli ve dvou protilehlých bodech: x a -x . Z toho lze snadno získat další model. Zahodíme horní polokouli z > 0 . Každý bod na vyřazené polokouli odpovídá bodu na spodní polokouli a jsou identifikovány diametrálně opačné body na rovníkovém kruhu dolní polokoule. "Narovnáním" polokoule získáme kružnici, ve které jsou identifikovány diametrálně opačné body hraniční kružnice. Kruh je homeomorfní čtverci, jehož opačné strany jsou označeny (ve směru šipek). Jak je znázorněno na následujícím obrázku, tento čtverec je homeomorfní ke kruhu D² s připojeným Möbiovým pásem μ. Proto je projektivní rovina neorientovatelná .

Cyklus (půlkruh) od do (označme ho jako ) není hranicí, nicméně plný kruh od do a od ( označme ho jako ) již omezuje celou "vnitřní" část projektivní roviny, proto 2 ≈ 0 a ≠0 (rovná se znamená , zda je nebo není cyklus homologní s nulou), to znamená, že jakýkoli cyklus nehomologní s nulou je homologický s cyklem . Jednorozměrná homologická grupa se tedy skládá ze dvou prvků H 1 (P²)={0,1} , kde nulový prvek grupy odpovídá jednorozměrným cyklům homologním k nule a k jednotce jsou všechny cykly homologní . $-X$ $X$ $A$ $-X$ $X$ $X$ $-X$ $2a$ $A$ $A$ $A$ $A$

Homologické skupiny projektivní roviny lze snadno vypočítat: H 0 (P²) = Z , H 1 (P²)={0,1} a H 2 (P²)= 0 , Bettiho čísla (řady skupin homologie) jsou v tomto pořadí b 0 = 1, b 1 = 1, b 2 = 0 a Eulerova charakteristika je rovna střídavému součtu χ(P²)=b 0 -b 1 +b 2 = 1 . Eulerovu charakteristiku můžete také vypočítat přímo z triangulace χ(P²) (viz spodní obrázek) - počet vrcholů je 6, hran 15 a ploch 10, což znamená χ(P²)=6-15+10=1 .

Podle známé věty o klasifikaci ploch mezi všechny kompaktní , spojené , uzavřené hladké variety je projektivní rovina jednoznačně určena tím, že je neorientovatelná a její Eulerova charakteristika je rovna 1 .

Základní grupa π 1 (P²)= Z 2 , vyšší homotopické skupiny odpovídají těm pro kouli π n (P²)=π n (S²) pro n≥2 .

Viz také

Pás Mobius
Kleinova láhev
Plocha Boi je příkladem ponoření skutečné projektivní roviny do trojrozměrného euklidovského prostoru.

Literatura

Artin E. Geometrická algebra. — M.: Nauka, 1969
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderní geometrie: Metody a aplikace. — M.: Nauka, 1979
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderní geometrie: Metody teorie homologie. — M.: Nauka, 1984
Kokster G. S. M. Skutečná projektivní rovina. -M: Fizmatgiz, 1959
Kokster G. S. M. Úvod do geometrie. — M.: Nauka, 1966
Fomenko A. T. Vizuální geometrie a topologie. - M.: MGU, 1998
Hartshorne R. Základy projektivní geometrie. — M.: Mir, 1970