Dílo Khatri - Rao

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. dubna 2022; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Součin Khatri-Rao je operace násobení matic definovaná výrazem [1] [2] :

{\displaystyle \mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{ij}\right)_{ij))

ve kterém -tý blok je Kroneckerův součin odpovídajících bloků a za předpokladu, že počet řádků a sloupců obou matic je stejný. Rozměr díla je . $ij$ $m_{i}p_{i}\otimes n_{j}q_{j}$ ${\mathbf A}$ $\mathbf {B}$ $\sum _{i}{m_{i}p_{i}}\times \sum _{j}{n_{j}q_{j}}$

Pokud například matice a mají blokový rozměr 2 × 2 : ${\mathbf A}$ $\mathbf {B}$

\mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}} \right]=\left[{\begin{array}{cc |  c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right]

a ,

\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}} \right]=\left[{\begin{array}{c |  cc}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right]

pak:

\mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf { A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left [{\begin{array}{cc |  cc}1&2&12&21\\4&5&24&42\\\hline 14&16&45&72\\21&24&54&81\end{array}}\right]

Khatri-Rao sloupcový produkt

Kroneckerův součin dvou matic se také nazývá součin Khatri-Rao. Tento součin předpokládá, že bloky matic jsou jejich sloupce. V tomto případě , a pro každou : . Výsledkem součinu je -matice, jejíž každý sloupec se získá jako Kroneckerův součin odpovídajících sloupců matic a . Například pro: $m_{1}=m$ $p_{1}=p$ $n=q$ $j$ $n_{j}=p_{j}=1$ $mp\times n$ ${\mathbf A}$ $\mathbf {B}$

\mathbf {C} =\left[{\begin{array}{c |  c |  c}\mathbf {C} _{1}&\mathbf {C} _{2}&\mathbf {C} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array} {c |  c |  c}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}}\right]

\mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c |  c |  c }\mathbf {D} _{1}&\mathbf {D} _{2}&\mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array} {c |  c |  c }1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right]

sloupcový produkt:

\mathbf {C} \ast \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c |  c |  c }\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}&\mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}&\mathbf {C} _ {3}\otimes \mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c |  c |  c }1&8&21\\2&10&24\\3&12&27\\4&20&42\\8&25&48\\12&30&54\\7&32&63\\14&40&72\\21&48&81\end{array}}\right]

Sloupcová verze produktu Khatri-Rao se používá v lineární algebře pro analytické zpracování dat [3] a optimalizaci řešení problému inverze diagonální matice [4] [5] ; v roce 1996 bylo navrženo jeho použití při popisu problému společného odhadu úhlu příchodu a doby zpoždění signálů v poli digitální antény [6] , stejně jako při popisu odezvy 4-souřadnicového radaru [ 7] .

Konečný produkt

Existuje alternativní pojetí součinu matic, které na rozdíl od sloupcové verze využívá rozdělení matic do řádků [8] — součin face-splitting [7] [ 9] [ 10] nebo transponovaný součin Khatri- Rao ( Anglicky transponovaný produkt Khatri-Rao ) [11] . Tento typ násobení matic je založen na Kroneckerově řádkovém součinu dvou nebo více matic se stejným počtem řádků. Například pro:

\mathbf {C} =\left[{\begin{array}{cc}\mathbf {C} _{1}\\\hline \mathbf {C} _{2}\\\hline \mathbf { C} _{3}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}1&2&3\\\hline 4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right]

\mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c }\mathbf {D} _{1}\\\hline \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf { D} _{3}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc }1&4&7\\\hline 2&5&8\\\hline 3&6&9\end{array}}\right]

lze napsat [7] :

\mathbf {C} \bullet \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c }\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}\\ \hline \mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf {C} _{3}\otimes \mathbf {D} _{3}\\\end {array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccccc }1&4&7&2&8&14&3&12&21\\\hline 8&20&32&10&25&40&12&30&48\\\hline 21&ray&42&83\725{4

Základní vlastnosti

Transponovat (1996 [7] [9] [12] ):

\left(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}\ast \mathbf { B} ^{\textsf {T}}

Komutativnost a asociativní operace [7] [9] [12] :

{\begin{aligned}\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} +\mathbf {C} )&=\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} +\mathbf {A} \ bullet \mathbf {C} ,\\(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\bullet \mathbf {A} &=\mathbf {B} \bullet \mathbf {A} +\mathbf {C} \ bullet \mathbf {A} ,\\(k\mathbf {A} )\bullet \mathbf {B} &=\mathbf {A} \bullet (k\mathbf {B} )=k(\mathbf {A} \ bullet \mathbf {B} ),\\(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} &=\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} ),\\\end{aligned}}

kde , a jsou matice a je skalár, ${\mathbf A}$ ${\mathbf A}$ $\mathbf {C}$ $k$

$a\bullet \mathbf {B} =\mathbf {B} \bullet a$ , [12] kde je vektor s počtem prvků rovným počtu řádků matice , $A$ $\mathbf {B}$

Vlastnost smíšeného produktu (1997 [12] ):

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right )=\left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\ že jo)

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\circ (\mathbf { B} \mathbf {D} )

[10] ,

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \bullet \mathbf {C} \bullet \mathbf {D} )(\mathbf {L} \ast \mathbf {M} \ast \mathbf {N } \ast \mathbf {P} )=(\mathbf {A} \mathbf {L} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {M} )\circ (\mathbf {C} \mathbf {N} ) \circ (\mathbf {D} \mathbf {P} )

[11] [13 ]

(\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )^{\textsf {T))(\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )=(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} )\circ (\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {B} )

[14] ,

kde označuje produkt Hadamard . $\circ$

Dále jsou splněny následující vlastnosti:

$(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\bullet (\mathbf {C} \circ \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \bullet \mathbf {C} )\circ (\mathbf {B} \bullet \mathbf {D} )$ [12] ,
$\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C}$ [7] ,
$(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\ast (\mathbf { B} \mathbf {D} )$ [14] ,
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\bullet (\mathbf { B} \mathbf {D} )$ [13] ,

$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\tečky (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )=(\ mathbf {A} \mathbf {B} \dots \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} )$ ,
$c^{\textsf {T}}\bullet d^{\textsf {T}}=c^{\textsf {T}}\otimes d^{\textsf {T}}$ [12] ,
$c\ast d=c\otimes d$ , kde a jsou vektory konzistentní dimenze, $C$ $d$
$(\mathbf {A} \ast c^{\textsf {T)))d=(\mathbf {A} \ast d^{\textsf {T)))c$ [15] ,, $d^{\textsf {T}}(c\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}})=c^{\textsf {T}} (d\bullet \mathbf {A} ^ {\textsf {T)))$
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(c\otimes d)=(\mathbf {A} c)\circ (\mathbf {B} d)$ [16] , kdeajsou vektory konzistentní dimenze (vyplývá z vlastností 3 a 8), $C$ $d$
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {M} \mathbf {N} c\otimes \mathbf {Q} \mathbf {P} d)=(\mathbf {A} \mathbf {M} \mathbf {N} c)\circ (\mathbf {B} \mathbf {Q} \mathbf {P} d)$ ,
${\mathcal {W}}(C^{(1)}x\star C^{(2)}y)=({\mathcal {W}}C^{(1)}\bullet {\ mathcal {W}}C^{(2)})(x\otimes y)={\mathcal {W}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {W}}C^{(2) }y$ ,

kde je matice diskrétní Fourierovy transformace , je symbol vektorové konvoluce (identita vyplývá z vlastností referenční skici [17] ), ${\mathcal {W}}$ $\star$

$\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} =(\mathbf {A} \otimes \mathbf {1_{c}} ^{\textsf {T}})\circ (\mathbf {1_{k )) ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {B} )$ [18] , kde jematice,jematice, , jsou vektoryajedničky, resp. $\mathbf {A}$ $r\times c$ $\mathbf {B}$ $r\times k$ $\mathbf {1_{c}}$ $\mathbf {1_{k}}$ $c$ $k$
$\mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =(\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T)))\circ (\mathbf {1} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {M} )$ [19] , kde jematice,je Hadamardův součin aje vektoremjednotek. $\mathbf {M}$ $r\times c$ $\circ$ $\mathbf {1}$ $c$
$\mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =\mathbf {M} [\circ ](\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T)))$ , kde je symbol pronikajícího konečného produktu matric. $[\circ ]$

Analogicky, kde je matice, je matice, $\mathbf {P} \ast \mathbf {N} =(\mathbf {P} \otimes \mathbf {1_{c}} )\circ (\mathbf {1_{k}} \otimes \mathbf {N } )$ $\mathbf {P}$ $c\times r$ $\mathbf {N}$ $k\times r$

$\mathbf {W_{d)) \mathbf {A} =\mathbf {w} \bullet \mathbf {A}$ [12] ,
$vec((\mathbf {w} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {B} )=(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {w}$ [10] ,
$vec(\mathbf {A} (\mathbf {w} \bullet \mathbf {B} ))=(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {w}$ [11] ,
$vec(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {W_{d}} \mathbf {A} )=(\mathbf {A} \bullet \mathbf {A} )^{\ textsf {T}}\mathbf {w}$ [19] ,
$vec(\mathbf {A} \mathbf {W_{d}} \mathbf {A} ^{\textsf {T}})=(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\bullet \ mathbf {A} ^{\textsf {T)))^{\textsf {T}}\mathbf {w} =(\mathbf {A} \ast \mathbf {A} )\mathbf {w}$ ,

kde je vektor vytvořený z diagonálních prvků matice , je operace vytvoření vektoru z matice umístěním jejích sloupců pod sebe. $\mathbf {w}$ $\mathbf {W_{d}}$ $vec(\mathbf {A} )$ $\mathbf {A}$

Absorpční vlastnost produktu Kronecker:

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )...(\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\ mathbf {K} \ast \mathbf {T} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} \mathbf {K} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M } ...\mathbf {S} \mathbf {T} )

[10] [13]

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )...(\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(c \otimes d)=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} d)

(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )...(\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\ mathbf {P} c\otimes \mathbf {Q} d)=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} \mathbf {P} c)\circ (\mathbf {L} \ mathbf {M} ...\mathbf {S} \mathbf {Q} d)

kde a jsou vektory konzistentní dimenze. $C$ $d$

Například [16] :

{\begin{aligned}\\&\quad \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\ 0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix} }\right)\left({\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix))\otimes {\begin{bmatrix}\rho _{1 }&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\ast { \begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[5pt]&\quad =\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\ konec{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}} {\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix)){\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix }}\,\otimes \,{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\ \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[5pt]&\quad ={\begin{bmatrix}1&0\\0&1 \\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bm  atrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\ end{bmatrix}}\,\circ \,{\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\ begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}} .\end{aligned}}

Věta [16]

If , where jsou nezávislé inkluze matice obsahující řádky takové, že a ,

{\displaystyle M=T^{(1)}\bullet \tečky \bullet T^{(c)))

{\displaystyle T^{(1)},\dots ,T^{(c)))

T

{\displaystyle T_{1},\tečky ,T_{m}\in \mathbb {R} ^{d))

E[(T_{1}x)^{2}]=\|x\|_{2}^{2}

E[(T_{1}x)^{p}]^{1/p}\leq {\sqrt {ap}}\|x\|_{2}

pak s pravděpodobností pro libovolný vektor , pokud počet řádků

{\displaystyle |\|Mx\|_{2}-\|x\|_{2}|<\varepsilon \|x\|_{2))

1-\delta

X

{\displaystyle m=(4a)^{2c}\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta +(2ae)\varepsilon ^{-1}(\log 1/\delta )^{c))

Konkrétně, pokud jsou prvky matice čísla , lze získat , což je pro malé hodnoty v souladu s limitní hodnotou lemmatu Johnson-Lindenstraussova rozdělení. $T$ $\pm 1$ $m=O(\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta +\varepsilon ^{-1}({\tfrac {1}{c))\log 1/\delta )^{c} )$ $\varepsilon$ $m=O(\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta )$

Blokovat koncový produkt

Pro blokové matice se stejným počtem sloupců v příslušných blocích:

\mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}} \že jo]

\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}} \že jo]

podle definice [7] lze koncový produkt bloku zapsat jako: $\mathbf {A} [\bullet ]\mathbf {B}$

\mathbf {A} [\bullet ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {A} _{11}\bullet \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\bullet \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf { A} _{21}\bullet \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\bullet \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]

Podobně pro blokově transponovaný konečný produkt (nebo blokový sloupcový produkt Khatri - Rao ) dvou matic se stejným počtem sloupců v odpovídajících blocích platí následující vztah [7] : $\mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B}$

\mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {A} _{11}\ast \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\ast \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf { A} _{21}\ast \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\ast \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]

Provede se vlastnost transpozice [13] :

\left(\mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}[\bullet ]\mathbf {B} ^{\textsf {T}}

Aplikace

Rodina konečných produktů matic se používá v teorii tenzorové matice digitálních anténních polí pro radiotechnické systémy [11] .

Konečný produkt se rozšířil v systémech strojového učení, statistickém zpracování velkých dat [16] . Umožňuje snížit množství výpočtů při implementaci metody redukce rozměrů dat, nazývané tenzorová skica [16] , a také rychlé Johnson-Lindenstraussovy transformace [16] . V tomto případě se provede přechod z původní promítací matice na Hadamardův součin , který pracuje s maticemi menšího rozměru. Aproximační chyba vysokorozměrných dat na základě konečného součinu matic odpovídá lemmatu malého zkreslení [16] [20] . V této souvislosti lze myšlenku konečného produktu použít k vyřešení problému rozdílného soukromí [ 15 ] . Kromě toho byly podobné výpočty použity k vytvoření tenzorů společného výskytu ve zpracování přirozeného jazyka a hypergrafech podobnosti obrázků [21] .

Konečný produkt se používá pro P-spline aproximaci [18] , vytváření zobecněných lineárních modelů datových polí (GLAM) během jejich statistického zpracování [19] a lze jej použít k efektivní implementaci jaderné metody strojového učení , stejně jako ke studiu interakce genotypů s prostředím. [22]

Viz také

Tenzorová skica[ upřesnit ]
Lemma malého zkreslení[ upřesnit ]

Poznámky

↑ Khatri CG, ČR Rao . Řešení některých funkcionálních rovnic a jejich aplikace k charakterizaci rozdělení pravděpodobnosti (anglicky) // Sankhya : journal. - 1968. - Sv. 30 . - S. 167-180 . Archivováno z originálu 23. října 2010.
↑ Zhang X; Yang Z & Cao C. (2002), Nerovnosti zahrnující Khatri-Rao produkty pozitivních semi-definitních matic, Applied Mathematics E-notes sv. 2: 117–124
↑ Viz např. HD Macedo a JN Oliveira. Přístup lineární algebry k OLAP . Formal Aspects of Computing, 27(2):283-307, 2015.
↑ Lev-Ari, Hanoch. Efektivní řešení lineárních maticových rovnic s aplikací na zpracování multistatických anténních polí // Komunikace v informačních systémech. - 2005. - 1. ledna ( roč. 05 , č. 1 ). - S. 123-130 . — ISSN 1526-7555 . - doi : 10.4310/CIS.2005.v5.n1.a5 .
↑ Masiero, B.; Nascimento, VH Revisiting the Kronecker Array Transform // IEEE Signal Processing Letters. - 2017. - 1. května ( roč. 24 , č. 5 ). - S. 525-529 . — ISSN 1070-9908 . - doi : 10.1109/LSP.2017.2674969 . - .
↑ Vanderveen, MC, Ng, BC, Papadias, CB, & Paulraj, A. (n.d.). Společný odhad úhlu a zpoždění (JADE) pro signály v prostředí s více cestami . Záznam z konference Třicáté Asilomarské konference o signálech, systémech a počítačích. — DOI:10.1109/acssc.1996.599145
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Slyusar, VI (27. prosince 1996). “Koncové produkty v matricích v radarových aplikacích” (PDF) . Radioelektronika a komunikační systémy. – 1998, sv. 41; Číslo 3 : 50-53. Archivováno (PDF) z originálu dne 27.07.2020 . Staženo 27.07.2020 . Použitý zastaralý parametr |deadlink=( nápověda )
↑ Anna Esteve, Eva Boj & Josep Fortiana (2009): Interakční termíny v regresi založené na vzdálenosti, komunikace ve statistice – teorie a metody, 38:19, P. 3501 [1] Archivováno 26. dubna 2021 na Wayback Machine
↑ 1 2 3 Slyusar, VI Analytický model pole digitálních antén na bázi produktů face-splitting matrix // Proc . ICATT-97, Kyjev: deník. - 1997. - 20. května. - str. 108-109 .
↑ 1 2 3 4 Slyusar, VI (1999). „Rodina maticových produktů pro tváře a její vlastnosti“ (PDF) . Kybernetika a systémová analýza C/C of Cybernetika I Sistemnyi Analiz . 35 (3): 379-384. DOI : 10.1007/BF02733426 . Archivováno z originálu (PDF) dne 25. ledna 2020 . Staženo 12. července 2020 .
↑ 1 2 3 4 Minochkin A. I., Rudakov V. I., Slyusar V. I. Základy vojensko-technického výzkumu. Teorie a aplikace. Hlasitost. 2. Syntéza prostředků informační podpory zbraní a vojenské techniky // Ed. A. P. Kovtuněnko. - Kyjev: "Granmna". - 2012. C. 7 - 98; 354 - 521 (2012). Staženo 12. července 2020. Archivováno z originálu dne 25. ledna 2020. (neurčitý)
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Slyusar, VI (15. 9. 1997). „Nové operace maticového produktu pro aplikace radarů“ (PDF) . Proč. Přímé a inverzní problémy teorie elektromagnetických a akustických vln (DIPED-97), Lvov. : 73-74. Archivováno (PDF) z originálu dne 25.01.2020 . Staženo 2020-07-12 . Použitý zastaralý parametr |deadlink=( nápověda )
↑ 1 2 3 4 5 Vadym Slyusar. Nové maticové operace pro DSP (přednáška). Duben 1999. – DOI: 10.13140/RG.2.2.31620.76164/1
↑ 1 2 C. Radhakrishna Rao . Odhad heteroscedastických odchylek v lineárních modelech.//Journal of the American Statistical Association, Vol. 65, č.p. 329 (březen 1970), str. 161-172
↑ 1 2 Kasiviswanathan, Shiva Prasad, et al. "Cena za soukromé zveřejnění kontingenčních tabulek a spekter náhodných matic s korelovanými řádky." Sborník příspěvků z 42. sympozia ACM na téma Teorie výpočetní techniky. 2010.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Ahle, Thomas; Knudsen, Jakob Téměř optimální náčrt tenzoru . [ [2] ] (3. září 2019). Staženo 11. července 2020. Archivováno z originálu dne 14. července 2020. (neurčitý)
↑ Ninh, Pham; Rasmus, Pagh (2013). Rychlá a škálovatelná polynomiální jádra prostřednictvím explicitních map funkcí . Mezinárodní konference SIGKDD o objevování znalostí a dolování dat. Asociace pro výpočetní techniku. DOI : 10.1145/2487575.2487591 .
↑ 12 Eilers , Paul H.C.; Marx, Brian D. (2003). „Vícerozměrná kalibrace s teplotní interakcí pomocí dvourozměrné regrese penalizovaného signálu“. Chemometrie a inteligentní laboratorní systémy . 66 (2): 159&ndash, 174. DOI : 10.1016/S0169-7439(03)00029-7 .
↑ 1 2 3 Currie, ID; Durban, M.; Eilers, PHC (2006). „Zobecněné modely lineárních polí s aplikacemi pro vícerozměrné vyhlazování“. Journal of the Royal Statistical Society . 68 (2): 259&ndash, 280. DOI : 10.1111/j.1467-9868.2006.00543.x .
↑ Ahle, Thomas; Kapralov, Michael; Knudsen, Jacob; Pagh, Rasmus; Velingker, Ameya; Woodruff, David; Zandieh, Amir (2020). Oblivious Sketching of High-Degree Polynomial Kernels . Symposium ACM-SIAM o diskrétních algoritmech. Asociace pro výpočetní techniku. DOI : 10.1137/1.9781611975994.9 .
↑ Bryan Bischoff. Tenzory společného výskytu vyššího řádu pro hypergrafy prostřednictvím rozdělení tváře. Publikováno 15. února 2020, Matematika, Počítačová věda, ArXiv Archivováno 25. listopadu 2020 na Wayback Machine
↑ Johannes WR Martini, Jose Crossa, Fernando H. Toledo, Jaime Cuevas. O produktech Hadamard a Kronecker v kovariančních strukturách pro interakci genotyp x prostředí.//Genom rostlin. 2020;13:e20033. Strana 5. [3]

Literatura

Khatri CG, ČR Rao. Řešení některých funkcionálních rovnic a jejich aplikace k charakterizaci rozdělení pravděpodobnosti (anglicky) // Sankhya : journal. - 1968. - Sv. 30 . - S. 167-180 . Archivováno z originálu 23. října 2010.
Zhang X; Yang Z & Cao C. (2002), Nerovnosti zahrnující Khatri-Rao produkty pozitivních semi-definitních matic, Applied Mathematics E-notes sv. 2: 117–124
Maticová algebra a její aplikace do statistiky a ekonometrie./CR Rao s M. Bhaskarou Rao. — Světová vědecká. - 1998. - S. 216.