Fibonacci Prime - Wiferich

Nevyřešené problémy v matematice : Existují Fibonacciho-Wieferichova prvočísla? Pokud ano, je jich konečný počet?

Fibonacciho-Viferichovo prvočíslo (také Wall-Sun-Sun prvočíslo , eng. Wall-Sun-Sun ) je jedním z určitého typu údajně existujících prvočísel spojených s Fibonacciho čísly . Od roku 2013 nebylo žádné takové číslo nalezeno.

Definice

Prvočíslo se nazývá Fibonacciho-Wiferichovo prvočíslo, pokud dělí Fibonacciho číslo , kde Legendreův symbol je definován jako: $p>5$ $p^{2}$ ${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)))$ $\left({\tfrac {p}{5}}\right)$

\left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 1{\pmod {5}} \\-1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{cases}}

Ekvivalentní definice: prvočíslo se nazývá Fibonacciho-Wieferichovo prvočíslo, jestliže , kde je -té Lucasovo číslo . [1] : 42 $p$ ${\displaystyle L_{p}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$ $L_{p}$ $p$

Existence

Existuje hypotéza, že existuje nekonečně mnoho Fibonacciho-Wiferichových prvočísel [2] , nicméně od roku 2013 nebylo žádné takové prvočíslo objeveno.

V roce 2007 Richard J. McIntosh a Eric L. Roettger ukázali, že pokud existují, musí být větší než 2⋅10 14 [3] , v roce 2010 François Dorais ( François G. Dorais ) a Dominic Klyve zvýšili limit na 9,7⋅ 10 14 [4] . V prosinci 2011 bylo zahájeno hledání v projektu PrimeGrid [5] , v prosinci 2012 PrimeGrid dosáhl hranice 1,5⋅10 16 [6] . Od dubna 2014 dosáhl PrimeGrid hranice 2,8⋅10 16 a pokračuje ve vyhledávání [6] .

Historie

Prvočísla Wall-Sun-Sun jsou pojmenována po Donaldu Wallovi [ 7 ] , Sun Zhìhóngovi a Sūn Zhìwěi , kteří v roce 1992 ukázali , že pokud je první případ Fermatovy poslední věty pro nějaké prvočíslo nepravdivý, pak musí být prvočíslo Fibonacciho-Wiefericha [8 ] . Před důkazem Fermatova posledního teorému od Andrewa Wilese bylo tedy hledání Fibonacciho-Wieferichových prvočísel zamýšleno k nalezení potenciálního protipříkladu . $p,$ $p$