Opačná věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 21. září 2017; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Opačná věta je výrok, ve kterém jsou podmínka a závěr původní věty nahrazeny jejich negacemi . Každá věta může být vyjádřena ve formě implikace , ve které je předpokladem podmínka věty a důsledkem je závěr věty. Pak je věta zapsaná ve tvaru proti ní [1] . Zde je negace , je negace . Důkaz nezbytnosti a dostatečnosti podmínek věty pro její závěr je redukován na důkaz jedné ze dvou opačných vět ( a ; a ) nebo jedné ze dvou inverzních vět ( a ; a ) [2] . $A\Šipka doprava B$ $A$ $B$ ${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$ $\overline {A}$ $A$ ${\overline {B}}$ $B$ $A$ $A\Šipka doprava B$ $B$ $A\Šipka doprava B$ ${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$ $B\Rightarrow A$ ${\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}$ $A\Šipka doprava B$ $B\Rightarrow A$ ${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$ ${\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}$

Jsou-li podmínkou a/nebo závěrem věty složité výroky, pak opačná věta připouští množinu formulací, které nejsou navzájem ekvivalentní. Pokud je například podmínka věty , a závěr je : , pak existuje pět tvarů pro opačnou větu: [3] $A$ $Y\Rightarrow Z$ $A\Rightarrow (Y\Rightarrow Z)$

${\overline {A}}\Rightarrow ({\overline {Y\Rightarrow Z)))$
${\overline {Y}}\Rightarrow ({\overline {A\Rightarrow Z)))$
${\overline {A\And Y}}\Rightarrow {\overline {Z}}$
$A\Rightarrow ({\overline {Y}}\Rightarrow {\overline {Z)))$
$Y\Rightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {Z)))$

Vlastnosti

Přímá věta je ekvivalentní větě opačné: $(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ({\overline {B))\Rightarrow {\overline {A)))$
Opačná věta je ekvivalentní opačné přímce: [1] $(B\Rightarrow A)\Leftrightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B)))$

Příklady

Pythagorova věta může být formulována takto:

Pokud v trojúhelníku se stranami délky , a úhel naproti straně je pravý, pak . $A$ $b$ $C$ $C$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Opačná věta k Pythagorově větě může být formulována takto:

Pokud v trojúhelníku se stranami délky , a úhel naproti straně není pravý úhel, pak . $A$ $b$ $C$ $C$ $a^{2}+b^{2}\neq c^{2}$

Viz také

Inverzní věta

Poznámky

↑ 1 2 Edelman, 1975 , str. 33.
↑ Edelman, 1975 , str. 34.
↑ Gradstein, 1965 , str. 94.

Literatura

Edelman S.L. Matematická logika. - M . : Vyšší škola, 1975. - 176 s.
Gradshtein I.S. Přímé a inverzní věty. Prvky algebry logiky. - M .: Nauka, 1965. - 127 s.