Zveřejnění nejistot

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. září 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Zveřejnění nejistoty - metody pro výpočet limitů funkcí daných vzorci, které v důsledku formálního nahrazení mezních hodnot argumentu v nich ztrácejí svůj význam, to znamená, že se mění ve výrazy jako:

\left(\infty -\infty \right)

\left({\frac {\infty }{\infty }}\right)

\left({\frac {0}{0}}\right)

\left(0\cdot \infty \right)

\left(0^{0}\right)

\left(\infty ^{0}\right)

\left(1^{\infty }\right)

(Zde je nekonečně malá hodnota , je nekonečně velká hodnota , 1 je výraz nekonečně blízký číslu 1) ${\textstyle 0}$ $\infty$

podle kterého nelze posoudit, zda požadované limity existují či nikoli, nemluvě o nalezení jejich hodnot, pokud existují.

Nejvýkonnější metodou je L'Hopitalovo pravidlo , které však neumožňuje vypočítat limitu ve všech případech . Navíc je přímo použitelný pouze pro druhý a třetí z uvedených typů nejistot, tedy relace, a aby bylo možné odhalit další typy, je třeba je nejprve zredukovat na jeden z nich.

Pro výpočet limitů se také často používá rozšíření výrazů zahrnutých do studované nejistoty v Taylorově řadě v blízkosti limitního bodu . K odhalení nejistot typů , , používají následující metodu: najdou limitu (přirozeného) logaritmu výrazu obsahujícího danou nejistotu. V důsledku toho se mění typ nejistoty. Po nalezení limity se z ní vezme exponent . $\left(~0^{0}\right)$ $\left(1^{\infty }\right)$ $\left(\infty ^{0}\right)$

\left(~0^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {0}}\right)=\left(e^{0\cdot (-\infty )} \že jo)

\left(~1^{\infty }\right)=\left(e^{\infty \cdot \ln {1))\right)=\left(e^{\infty \cdot 0}\ že jo)

\left(~\infty ^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {\infty }}\right)=\left(e^{0\cdot \infty }\ že jo)

K vyřešení typových nejednoznačností se používá následující algoritmus : ${\frac {\infty }{\infty ))$

Identifikace nejvyššího stupně proměnné;
Vydělte touto proměnnou jak čitatel, tak jmenovatel.

K vyřešení typových nejednoznačností existuje následující algoritmus: $\left({\frac {0}{0}}\right)$

Faktorizace čitatele a jmenovatele;
Snížení frakce.

K vyřešení typových nejednoznačností je někdy vhodné použít následující transformaci: $(\infty -\infty )$

Nechat a ;

f(x){\xšipka doprava {x\do a}}\infty

g(x){\xšipka doprava {x\do a}}\infty

\lim _{{x\to a}}[f(x)-g(x)]=(\infty -\infty )=\lim _{{x\to a}}\left({\frac {1 }{{\frac {1}{f(x)}}}}-{\frac {1}{{\frac {1}{g(x)))}}\right)=\lim _{{x \to a}}{\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{f(x)))}{{\frac {1}{g(x)} }\cdot {\frac {1}{f(x)}}}}=\left({\frac {0}{0}}\right)

Tento typ nejistoty lze vyřešit pomocí asymptotických expanzí minuendu a subtrahendu, přičemž je nutné eliminovat nekonečně velké členy stejného řádu.

Pozoruhodné limity a jejich důsledky platí i při odhalování nejistot .

Příklad

$\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{xa}},a>0$ je příkladem [1] neurčitosti tvaru . Podle L'Hopitalova pravidla . Druhým způsobem je přidat a odečíst v čitateli a dvakrát použít Lagrangeovu větu na funkce a v tomto pořadí: $\left({\frac {0}{0}}\right)$ $\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{xa}}=\lim _{x\to a}{\frac {a^{x }\ln a-ax^{a-1}}{1}}=a^{a}(\ln a-1)$ ${\displaystyle a^{a))$ $a^{x}$ $x^{a}$

${\frac {a^{x}-x^{a}}{xa}}={\frac {a^{x}-a^{a}-(x^{a}-a^{ a})}{xa))={\frac {a^{c}\ln a(xa)-ad^{a-1}(xa)}{xa}}=a^{c}\ln a- reklama^{a-1}$

zde c, d leží mezi a a x, takže mají tendenci k a, zatímco x směřuje k a, takže dostáváme stejnou limitu jako v první metodě.

Poznámky

↑ Demidovich B.P. Úloha č. 1358 // Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. - 7. vyd. - M .: Nauka , 1969. - S. 136.

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Nový