Racionální povrch

Racionální plocha je plocha, která je biracionálně ekvivalentní projektivní rovině , nebo jinými slovy racionální varieta dimenze dvě. Racionální povrchy jsou nejjednodušší z asi 10 tříd povrchů v Enriques-Kodairově klasifikaci komplexních povrchů a tyto povrchy byly prvními zkoumanými povrchy.

Struktura

Jakýkoli nesingulární racionální povrch lze získat opakovaným nafouknutím minimální racionální plochy. Minimální racionální plochy jsou projektivní rovina a Hirzebruchovy plochy Σ r pro r = 0 nebo r ≥ 2.

Invarianty: Všechny plurigeny jsou rovny 0 a základní skupina je triviální.

Rhombus Hodge :

1 0 0 1 1+ n 1 , 0 0 1

kde n je 0 pro projektivní rovinu, 1 pro Hirzebruchovy plochy a větší než 1 pro ostatní racionální plochy.

Picardova skupina je lichá unimodulární mřížka I 1, n , kromě Hirzebruchových ploch Σ 2 m , pro které je to sudá unimodulární mříž II 1,1 .

Castelnuova věta

Guido Castelnuovo dokázal, že jakýkoli komplexní povrch, pro který jsou q a P 2 (nepravidelnost a druhý plurigen) rovny nule, je racionální. To se používá v klasifikaci Enriques-Kodaira pro rozpoznávání racionálních povrchů. Zariski [1] dokázal, že Castelnuovova věta platí i pro pole pozitivní charakteristiky.

Z Castelnuovovy věty také vyplývá, že jakýkoli komplexní povrch je racionální. Většina uniracionálních komplexních variet dimenze 3 a výše není racionální. Pro charakteristiku p > 0 našel Zariski [1] příklad uniracionálních ploch ( Zariski plochy ), které nejsou racionální.

Kdysi nebylo jasné, zda komplexní povrchy s nulou q a P 1 byly racionální nebo ne, ale Federigo Enriquez našel protipříklad ( Enriquezův povrch ).

Příklady racionálních ploch

Viz také

Poznámky

  1. 12. Zariski , 1958 .

Literatura