Vintage Dirichlet

Dirichletova konvoluce je binární operace definovaná pro aritmetické funkce používané v teorii čísel , kterou představil a studoval německý matematik Dirichlet .

Definice

Dirichletova konvoluce dvou aritmetických funkcí a je aritmetická funkce definovaná takto: $f*g$ $F$ $G$

(f*g)(n)=\součet _{{d\mid n}}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)=\součet _{{ab=n }}f(a)g(b)

kde součet přebírá všechny přirozené dělitele argumentu , nebo ekvivalentně všechny dvojice přirozených čísel, jejichž součin je roven . $d$ $n$ $(a,b)$ $n$

Vlastnosti

Množina aritmetických funkcí bodovým sčítáním (tj. funkce je určena vztahem ) a Dirichletova konvoluce tvoří komutativní prsten , nazývaný Dirichletův prsten . Jednotkou kruhu je funkce definovaná jako , if a , if . Invertibilní prvky jsou všechny funkce takové, že . $f+g$ $(f+g)(n)=f(n)+g(n)$ $\epsilon$ $\epsilon(n)=1$ $n=1$ $\epsilon(n)=0$ $n>1$ $F$ $f(1)\neq 0$

Zejména Dirichletova konvoluce je [1] asociativní :

(f*g)*h=f*(g*h)

distributivní přidáním:

f*(g+h)=f*g+f*h=(g+h)*f

komutativní :

f*g=g*f

a má neutrální prvek :

f*\epsilon =\epsilon *f=f

Dirichletova konvoluce dvou multiplikativních funkcí je opět multiplikativní a každá multiplikativní funkce má multiplikativní Dirichletovu inverzi. If je zcela multiplikativní funkce , pak , kde násobení funkcí je definováno jako jejich bodové složení. Konvoluce dvou plně multiplikativních funkcí není vždy plně multiplikativní. $F$ $f(g*h)=(fg)*(fh)$

Dirichletův apel

Pro každou funkci , pro kterou existuje funkce taková, že ( je jednotka kruhu při násobení), se nazývá Dirichletova inverze funkce . $F$ $f(1)\neq 0$ $G$ $f*g=\epsilon$ $\epsilon$ $F$

Dirichletova inverze funkce identity je Möbiova funkce , a proto následuje mnoho výsledků, zejména: $1(n)=1$

g=f*1\šipka doleva doprava f=g*\mu

( Möbiův inverzní vzorec ),

\lambda *|\mu |=\epsilon

, kde je funkce Liouville ,

\lambda

\lambda *1=1_{S},

kde je množina čtverců.

S=\{1;4;9;16;...\}

Vztah s funkcí Dělitelé : ${\displaystyle \sigma _{k))$

\sigma _{k}(n)=\součet \limits _{{d\mid n}}d^{k}

sečtením -té mocniny dělitelů čísla je s konvolucí spojeno také množství pozoruhodných vlastností: $k$

\sigma _{1}=\operatorname {Id} *1

( je konstantní funkce ),

\operatorname {Id}

\operatorname {Id} (n)=n

\sigma _{k}=\název operátora {Id} _{k}*1

( -tá mocnina argumentu : ),

\operatorname {Id}_{k}

k

{\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k))

\tau =1*1

(zde je počet dělitelů čísla ),

\tau=\sigma _{0}

n

\operatorname {Id} =\sigma _{1}*\mu

1=\tau*\mu

\tau ^{3}*1=(\tau *1)^{2}

Vztah s Eulerovou funkcí : $\varphi$

\varphi *1=\operatorname {Id}

\sigma _{1}=\varphi *\tau

Vztah s Jordanem totientem : ${\displaystyle J_{k))$

J_{k}*1=\jméno operátora {Id}

{\displaystyle (\operatorname {Id} _{s}J_{r})*J=J_{s+r))

Vztah k Mangoldtově funkci : $\lambda$

\Lambda *1=\ln

Dirichletův apel

Jestliže aritmetická funkce je dána , pak její Dirichletova inverze může být vypočítána rekurzivně (přesněji, každá hodnota je vyjádřena v termínech pro ) přes definici Dirichletovy inverze. $F$ $g=f^{{-1}}$ $g(n)$ $g(m)$ $m<n$

Pro - definováno v $n=1$ $g(1)=f^{{-1}}(1)$ $f(1)\neq 0$

A obecně pro všechny : $n>1$

g(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum _{\stackrel {d\mid n}{d<n}}f\left({\frac {n} {d}}\right)g(d)

$g(n)$ definováno pokud . Funkce má tedy Dirichletovu inverzi tehdy a jen tehdy, když . $f(1)\neq 0$ $F$ $f(1)\neq 0$

Dirichlet řadí

Pro jakoukoli aritmetickou funkci lze její Dirichletovu řadu definovat z hlediska generující funkce jako $F$

\operatorname {DG}(f;s)=\sum \limits _{{n=1}}^{{+\infty }}{\frac {f(n)}{n^{s}}}

pro všechny takové složité argumenty , pro které řada konverguje. Produkt řady Dirichlet souvisí s dirichletovou konvolucí takto: $s$

\operatorname {DG}(f;s)\operatorname {DG}(g;s)=\operatorname {DG}(f*g;s)

pro všechny , pro které obě řady vlevo konvergují a alespoň jedna konverguje absolutně (v tomto případě obvyklá konvergence obou řad vlevo neznamená konvergenci řady vpravo). Tento vztah strukturálně připomíná větu o konvergenci pro Fourierovy řady (kde roli Fourierovy transformace hraje Dirichletova řada). $s$

Poznámky

↑ Chen, 2009 , Důkazy jsou uvedeny v kapitole 2.

Odkazy

Chan Heng Huat. Analytická teorie čísel pro vysokoškoláky . - World Scientific Publishing Company , 2009. - ISBN 981-4271-36-5 .
Hugh L. Montgomery; Robert C Vaughan. Teorie multiplikativních čísel I. Klasická teorie (anglicky) . - Cambridge: Cambridge University Press , 2007. - Sv. 97. - S. 38. - (Cambridgeské traktáty v pokročilé matematice). - ISBN 0-521-84903-9 .
Třída zbytkových systémů (mod r) a související aritmetické funkce. I. Zobecnění Möbiovy inverze, s. 13-23.
Aritmetické funkce spojené s jednotnými děliteli celého čísla, s. 66-80.
Počet unitárních dělitelů celého čísla , s. 879-880.
O nekonečných dělitelích celých čísel, s. 395-411.
Aritmetické funkce spojené s nekonečnými děliteli celého čísla, s. 373-383.
Šándor, Jozsef; Berge, Antal. Möbiova funkce: zobecnění a rozšíření // Adv . Stud. Contemp. Matematika. (Kyungshang): deník. - 2003. - Sv. 6 . - str. 77-128 .
Finch, Steven Unitarismus a infinitarismus (nepřístupný odkaz) (2004). Archivováno z originálu 1. září 2006. (neurčitý)