Symetrický tenzor

V matematice a teoretické fyzice se říká , že tenzor je symetrický vzhledem ke dvěma indexům i a j , pokud se nemění, když jsou tyto indexy zaměněny:

T_{ij\dots} = T_{ji\tečky}

Pokud se tenzor nemění při permutaci kteréhokoli páru jeho indexů, pak se takový tenzor nazývá absolutně symetrický .

Symetrizace a antisymetrizace

Pro jakýkoli tenzor U se složkami lze sestrojit symetrický a antisymetrický tenzor podle pravidla: $U_{ij\dots}$

$U_{(ij)\dots}=\frac{1}{2}(U_{ij\tečky}+U_{ji\tečky})$ (symetrická část),

$U_{[ij]\dots}=\frac{1}{2}(U_{ij\tečky}-U_{ji\tečky})$ (antisymetrická část).

Výraz "část" to znamená $U_{ij\tečky}=U_{(ij)\tečky}+U_{[ij]\tečky}$

Pro větší počet indexů lze také definovat symetrizaci:

T_{(i_1i_2\tečky i_r)} = \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_r} T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\tečky i_ {\sigma r))\

značí se také (pro případ jeho provedení přes všechny indexy) symbolem : $\operatorname{Sym}$

(\operatorname{Sym}\,T)_{i_1i_2\tečky i_r} = T_{(i_1i_2\tečky i_r)}\

Pro expanzi tenzoru pořadí většího než dva se však ukazuje, že pouze absolutně symetrické a absolutně antisymetrické členy nestačí.

Vlastnosti

Příklady absolutně symetrických tenzorů

Pořadí 0 – skalární (jakýkoli),
Pořadí 1 — vektor/kovektor (jakýkoli),
Pořadí 2:
- symetrická matice ,
- (kovariant) je kvadratická forma .
Libovolná hodnost n — mocnina tenzoru n libovolného vektoru/kovektoru (pouze jedna z možností).

Poslední příklad ukazuje, že na rozdíl od antisymetrického případu bude mít prostor symetrických tenzorů kladnou dimenzi pro libovolně velký počet symetrických indexů.

Aplikace

Symetrické kovariantní tenzory vznikají expanzí v Taylorově řadě funkce dané na lineárním prostoru - člen stupně n je symetrický n -lineární funkcionál , to znamená, že jeho "koeficient" je absolutně symetrický tenzor hodnosti n .

V kvantové mechanice popisuje symetrický tenzor v n indexech n -částicový stav bosonu . Když je stav popsán vlnovou funkcí , lze vlnové funkce mnoha proměnných považovat matematicky za nekonečněrozměrné tenzory (každý argument odpovídá indexu). Symetrická funkce splňuje rovnici a podobně pro více proměnných. $\psi(x,y)=\psi(y,x)$