Vlastní zrychlení

Vnitřní zrychlení [1]  v teorii relativity je fyzické zrychlení (tj. měřitelné zrychlení, například pomocí akcelerometru ), které objekt zažívá. Je to tedy zrychlení vzhledem k volnému pádu nebo inerciálnímu pozorovateli, který je na okamžik v klidu vzhledem k měřenému objektu. Gravitace nezpůsobuje své vlastní zrychlení, protože gravitace působí na inerciálního pozorovatele takovým způsobem, že jeho vlastní zrychlení není fixní. Důsledkem je, že všichni inerciální pozorovatelé mají vždy nulové vlastní zrychlení.

Vlastní zrychlení kontrastuje se zrychlením , které závisí na volbě souřadnicového systému, a tedy na volbě pozorovatele.

Ve standardních inerciálních souřadnicích speciální teorie relativity pro jednosměrný pohyb je vlastní zrychlení míra změny vlastní rychlosti vzhledem k souřadnicovému času.

V inerciální soustavě, ve které je objekt okamžitě v klidu, správný 3-vektor zrychlení v kombinaci s nulovou časovou složkou dává 4-zrychlení objektu, díky čemuž je velikost vnitřního zrychlení Lorentzova invariantní . Koncept je tedy užitečný v následujících případech: (i) se zrychlenými snímky, (ii) při relativistických rychlostech a (iii) v zakřiveném časoprostoru.

V urychlující raketě po startu, nebo dokonce v raketě při startu, je vlastní zrychlení zrychlení pociťované cestujícími a je popsáno jako g -force (což není síla, ale pouze zrychlení, viz tento článek. podrobnější popis vlastního zrychlení) produkovaného pouze vozidly. [2] "Gravitační zrychlení" ("gravitace") nikdy za žádných okolností nepřispívá k vlastnímu zrychlení, což znamená, že vlastní zrychlení pozorované pozorovateli stojícími na zemi je způsobeno mechanickou silou ze Země , a nikoli důsledkem na „sílu nebo „zrychlení“ gravitace. Pokud je zem odstraněna a pozorovatel může volně padat, pozorovatel zažije souřadnicové zrychlení, ale žádné vlastní zrychlení, a tedy žádnou g-sílu. Obvykle objekty v takovém pádu nebo obecně v jakékoli balistické dráze (také nazývané inerciální pohyb), včetně objektů na oběžné dráze, nezažijí své vlastní zrychlení (zanedbávání malých slapových zrychlení pro inerciální dráhy v gravitačních polích). Tento stav je také známý jako " beztíže " ("nula-g") nebo "volný pád".

Vlastní zrychlení je redukováno na souřadnicové zrychlení v inerciálním souřadnicovém systému v plochém časoprostoru (tedy v nepřítomnosti gravitace), za předpokladu, že vlastní rychlost objektu [3] (hybnost na jednotku hmotnosti) je mnohem menší . než rychlost světla c . Teprve v takových situacích je souřadnicové zrychlení plně pociťováno jako přetížení (tedy jeho vlastní zrychlení, definované také jako vytvoření měřitelné váhy).

V situacích, kdy neexistuje gravitace, ale zvolený souřadnicový systém není inerciální, ale zrychluje se s pozorovatelem (například zrychlená vztažná soustava zrychlující rakety nebo rám upevněný na objektech v centrifuze), pak g-síly a odpovídající vlastní zrychlení pozorovaná pozorovateli v těchto souřadnicových systémech jsou způsobena mechanickými silami, které odolávají jejich vahám v takových systémech. Toto závaží je zase vytvářeno setrvačnými silami , které se objevují ve všech takových zrychlených souřadnicových systémech, podobně jako závaží vytvářené "gravitační silou" pro objekty fixované v prostoru vzhledem ke gravitujícímu tělesu (jako na povrchu Země).

Celková (mechanická) síla, která je vypočtena tak, aby způsobila své vlastní zrychlení hmoty v klidu v souřadnicovém systému, který má své vlastní zrychlení, se podle Newtonova zákona F = m a nazývá vlastní síla . Jak je vidět výše, vlastní síla se rovná reakční síle, která se měří jako „pracovní hmotnost“ objektu (tj. jeho hmotnost měřená zařízením, jako je pružinová váha ve vakuu, v souřadnicovém systému objektu). Vlastní síla objektu je tedy vždy číselně stejná a ve směru opačném k měřené hmotnosti.

Příklady

Když držíte na karuselu, který se otáčí konstantní úhlovou rychlostí , zažíváte radiální vnitřní ( dostředivé ) vlastní zrychlení v důsledku interakce mezi klikou a rukou. Tím se zruší radiálně vnější geometrické zrychlení spojené s rotujícím referenčním rámem . Toto vnější zrychlení (ve smyslu rotující vztažné soustavy) se stane souřadnicovým zrychlením, když uvolníte ruce, což povede ke geodetickému letu s nulovým vnitřním zrychlením. Samozřejmě, v tuto chvíli nezrychlení pozorovatelé ve svém referenčním rámci jednoduše vidí, jak vaše stejná vlastní a souřadnicová zrychlení mizí.

Podobně, když stojíme na nerotující planetě (a na Zemi), zažíváme vlastní vzestupné zrychlení v důsledku normální (kolmé k povrchu) síly, kterou Země působí na podrážku našich bot. Neutralizuje geometrické zrychlení ve směru dolů v důsledku volby souřadnicového systému (tzv. povrchový referenční rámec (anglicky shell frame) [4] ). Toto sestupné zrychlení se stane souřadnicovým, pokud náhodně sestoupíme z útesu na trajektorii nulového vlastního zrychlení (geodetický nebo dešťový referenční rámec).

Všimněte si, že geometrická zrychlení (kvůli afinnímu spojovacímu členu v kovariantní derivační soustavě souřadnic ) působí na každý gram našeho bytí , zatímco pořádná zrychlení jsou obvykle způsobena vnější silou. Úvodní kurzy fyziky často zpracovávají klesající (geometrické) gravitační zrychlení jako důsledek gravitační síly . To spolu s pečlivým vyhýbáním se nezrychleným vztažným soustavám jim umožňuje považovat souřadnicové a správné zrychlení za jednu a tutéž entitu.

Dokonce i když si objekt udržuje konstantní správné zrychlení po dlouhou dobu v plochém časoprostoru, pozorovatelé v klidu uvidí, že jeho souřadnicové zrychlení klesá, jak se jeho souřadnicová rychlost blíží rychlosti světla. Nicméně rychlost růstu vlastní rychlosti objektu zůstává konstantní.

Rozdíl mezi vlastním a souřadnicovým zrychlením [5] tedy umožňuje sledovat zkušenosti zrychlených cestovatelů z různých nenewtonských perspektiv. Tyto perspektivy zahrnují takové případy, jako jsou zrychlené souřadnicové systémy (např. karusely), vysoké rychlosti (kdy se správné a souřadnicové časy liší) a zakřivený časoprostor (např. spojený s gravitací na Zemi).

Klasické aplikace

Při nízkých rychlostech v inerciálních souřadnicových systémech newtonovské fyziky se vlastní zrychlení rovná souřadnicovému zrychlení a =d 2 x /dt 2 . Jak je však uvedeno výše, od souřadnicového zrychlení se liší, pokud se rozhodnete (proti Newtonovým radám) popsat svět zrychleným souřadnicovým systémem, jako je rychlovka nebo kámen točící se v praku. Pokud souhlasíte s tím, že gravitace je způsobena zakřivením časoprostoru (viz níže), v gravitačním poli se správné zrychlení liší od souřadnicového.

Například objekt vystavený fyzickému nebo vnitřnímu zrychlení ao bude pozorovateli pozorován v souřadnicovém systému vystaveném konstantnímu zrychlení snímku se souřadnicovým zrychlením:

Pokud tedy objekt zrychluje se vztažnou soustavou, pozorovatelé ukotvení v této vztažné soustavě neuvidí vůbec žádné zrychlení.

Podobně objekt vystavený fyzickému nebo vlastnímu zrychlení ao bude pozorovateli pozorován v rámci rotujícího úhlovou rychlostí ω jako mající souřadnicové zrychlení:

Ve výše uvedené rovnici jsou na pravé straně tři členy geometrického zrychlení. První je „odstředivé zrychlení“, závisí pouze na radiální poloze „r“, a nikoli na rychlosti našeho objektu, druhé je „Coriolisovo zrychlení“, závisí pouze na rychlosti objektu v rotující vztažné soustavě v rot , ale ne na jeho poloze, a třetí člen - "Eulerovo zrychlení", závisí pouze na poloze a rychlosti změny úhlové rychlosti vztažné soustavy.

V každém z těchto případů je fyzické nebo vlastní zrychlení odlišné od souřadnicového zrychlení, protože toto může být ovlivněno naším výběrem souřadnicového systému, stejně jako fyzikálními silami působícími na objekt. Ty složky souřadnicového zrychlení, které nejsou způsobeny fyzikálními silami (jako je přímý kontakt nebo elektrostatická přitažlivost), jsou často připisovány (jako v Newtonově příkladu výše) silám, které: (i) působí na každý gram předmětu, (ii) způsobují hmotově nezávislá zrychlení a (iii) neexistují ze všech hledisek. Mezi takové geometrické (nebo nepatřičné) síly patří Coriolisovy síly , Eulerovy síly , g -síly , odstředivé síly a (jak uvidíme dále) gravitace .

Pohled z části plochého časoprostoru

Poměr vlastního zrychlení k souřadnicovému v dané části plochého časoprostoru vyplývá [6] z rovnice metriky plochého časoprostoru Minkowského ( c d τ ) 2 = ( c d t ) 2  — (d x ) 2 . Zde jediný referenční rámec metrů a synchronizovaných hodin určuje polohu x klidového snímku a dobu t klidového snímku , hodiny pohybujícího se objektu určují správný čas τ a "d" před souřadnicí označuje nekonečně malou změnu. Tyto vztahy umožňují řešit různé problémy "inženýrství libovolných rychlostí", i když pouze z hlediska rozšířeného vztažného rámce klidu pozorovatele, ve kterém je definována simultánnost.

Zrychlení v (1+1)D

V jednosměrném případě, kdy je zrychlení objektu rovnoběžné nebo antiparalelní s jeho rychlostí ve středu pozorovatele, správné zrychlení α a souřadnicové zrychlení a souvisí s [7] prostřednictvím Lorentzova faktoru γ pro α =γ 3 a . Změna vlastní rychlosti w=dx/dτ je tedy integrálem vlastního zrychlení v čase systému v klidu t, tj. Δ w = α Δ t pro konstantu α . Při nízkých rychlostech se to scvrkává na dobře známý vztah mezi souřadnicovou rychlostí a souřadnicovou dobou zrychlení, tj. Δ v = a Δ t .

Pro konstantní jednosměrné vlastní zrychlení existují podobné vztahy mezi rychlostí η a uplynulým vlastním časem Δ τ , jakož i mezi Lorentzovým koeficientem γ a ujetou vzdáleností Δ x . A to:

kde různé parametry rychlosti souvisí vztahem

Tyto rovnice popisují některé důsledky zrychleného pohybu vysokou rychlostí. Představte si například kosmickou loď, která dokáže urychlit své pasažéry rychlostí 1 g (10 m/s 2 nebo asi 1,0 světelného roku za rok na druhou) v polovině cesty k jejich cíli a poté je zpomalit na 1 g na zbývající polovinu cesty, aby zajistila umělou gravitaci Země z bodu A. do bodu B. [8] [9] Pro vzdálenosti opěrného rámu Δ x AB předpovídá první výše uvedená rovnice průměrný Lorentzův faktor γ mid =1+ α (Δ x AB /2)/c 2 . Zpáteční čas na hodinách velitele tedy bude Δ τ = 4( c / α ) cosh −1 ( γ mid ), během kterého bude čas, který uplynul na hodinách klidového systému, Δ t  = 4( c / α ) sinh [cosh −1 ( γ mid )].

Tato imaginární kosmická loď by mohla nabídnout cesty do az Proxima Centauri trvající asi 7,1 roku podle hodin cestovatelů (~12 let podle času Země), cestu do centrální černé díry za asi 40 let (~ 54 000 let podle času Země) a cestuje do galaxie Andromeda , která trvá asi 57 let (přes 5 milionů let podle zemských hodin). Bohužel, 1g zrychlení v průběhu let se snadněji řekne, než udělá, jak ilustruje obrázek vpravo, který ukazuje poměr maximálního užitečného zatížení k hmotnosti startu.

Poznámky

1. ↑ Edwin F. Taylor & John Archibald Wheeler (1966 pouze 1. vyd.) Fyzika časoprostoru (WH Freeman, San Francisco) ISBN 0-7167-0336-X , Cvičení Kapitola 1 51 strana 97-98: "Clock paradox III" ( pdf Archivováno 21. července 2017 na Wayback Machine ).
2. ↑ Relativita od Wolfganga Rindlera str. 71
3. ↑ Francis W. Sears & Robert W. Brehme (1968) Úvod do teorie relativity (Addison-Wesley, NY) LCCN 680019344 Archivováno 30. července 2012 ve Wayback Machine , sekce 7-3
4. ↑ Edwin F. Taylor a John Archibald Wheeler (2000) Zkoumání černých děr (Addison Wesley Longman, NY) ISBN 0-201-38423-X
5. ↑ srov. CW Misner, KS Thorne a JA Wheeler (1973) Gravitace (WH Freeman, NY) ISBN 978-0-7167-0344-0 , sekce 1.6
6. ↑ P. Fraundorf (1996) „Jednomapový dvouhodinový přístup k výuce relativity v úvodní fyzice“ ( arXiv:physics/9611011 )
7. ↑ A. John Mallinckrodt (1999) Co se stane, když a*t>c? Archivováno z originálu 30. června 2012. (Letní setkání AAPT, San Antonio TX)
8. ↑ E. Eriksen a Ø. Grøn (1990) Relativistická dynamika v rovnoměrně zrychlených vztažných soustavách s aplikací na hodinový paradox, Eur. J Phys. 39 :39-44
9. ↑ C. Lagoute a E. Davoust (1995) Mezihvězdný cestovatel, Am. J Phys. 63 :221-227