Poměr

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. září 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Poměr v matematice (poměr, proporce) je vztah mezi dvěma homogenními číselnými hodnotami [1] . Obvykle se vyjadřuje jako „ a až b “ nebo se někdy vyjadřuje aritmeticky jako výsledek (ne nutně celé číslo ) dělení dvou číselných hodnot [2] , které přímo představují, kolikrát první číslo obsahuje druhé [3] .

Jednoduše řečeno, poměr ukazuje, že na každé množství jedné věci připadá kolik něčeho jiného. Předpokládejme například, že někdo má v ovocné misce 8 pomerančů a 6 citronů, poměr pomerančů k citronům je 8:6 (nebo ekvivalentně 4:3) a poměr citronů k pomerančům je 3:4 . Kromě toho bude počet pomerančů v poměru k celkovému počtu plodů 4:7 (ekvivalent 8:14). Poměr 4:7 lze převést na zlomek 4/7, což ukazuje, jaký podíl z celkového počtu plodů tvoří pomeranče.

Označení a termíny

Poměr čísel A a B lze znázornit jako: [2]

navíc se zpravidla poměry zapisují jako poměry celých čísel a v tomto případě je i poměr čísel A a B

Čísla A a B se v tomto kontextu někdy nazývají termíny (termíny), kde A  je předchůdce a B  je následný .

Poměr vyjadřující rovnost poměrů A  : B a C  : D zapíšeme jako A  : B = C  : D nebo A  : B ∷ C  : D . Čte:

A je pro B jako C pro D.

A v tomto případě se A , B , C , D nazývají členy podílu. A a D  jsou krajní členy podílu a B a C  jsou střední členy.

Někdy lze v poměrech napsat tři nebo více termínů. Například rozměry předmětu s řezem dva až čtyři a délkou deset centimetrů budou 2:4:10. Rovnost tří nebo více poměrů se nazývá spojitý poměr ( anglicky  continue ratio - řada poměrů ). [2]

Historie a etymologie

Je nemožné vystopovat původ konceptu ratio, protože myšlenky, z nichž se vyvinul, musely být známy předgramotným kulturám. Například myšlenka, že jedna vesnice je dvakrát větší než druhá, je tak základní, že by ji pochopila i pravěká společnost. [čtyři]

Pro označení vztahu používali Řekové výraz jiný Řek. λόγος , který latiníci překládali jako ratio („rozumný důvod“; jako ve slově „racionální“) nebo jako proportio . (Racionální číslo lze považovat za výsledek poměru dvou celých čísel.) Modernější výklad starověkého významu se blíží „výpočtu“ nebo „výpočtu“. [3] Boethius („Základy aritmetiky“, „Základy hudby“, počátek 6. století) použil slovo proportio (spolu s ratio , comparatio a habitudo ) k označení ratio a proporcionalitas (překlad z jiné řečtiny. ἀναλογία ) k označení proporce ( vztahové vztahy) [5] . Tato terminologie (kvůli rozšířenému používání aritmetiky a hudby Boethiusem) byla také praktikována ve středověku.

Euclid spojený v Elementech vyplývá z dřívějších zdrojů. Pythagorejci vyvinuli teorii poměru a proporce, jak je aplikována na čísla [6] . Pythagorejský koncept čísla zahrnoval pouze racionální čísla , což vyvolalo pochybnosti o použitelnosti teorie v geometrii, kde, jak Pythagorejci také zjistili, existují nesouměřitelné rozměry odpovídající iracionálním číslům . Objev teorie vztahů, která nepředpokládala souměřitelnost, patří pravděpodobně Eudoxovi z Knidu . V knize VII "Počátků" je uvedena dřívější teorie poměrů souměřitelných veličin [7] .

Existence několika teorií vypadá modernímu pohledu jako zbytečná komplikace, protože poměry jsou z velké části určeny výsledkem dělení. Jde však o objev poměrně čerstvý, jak je patrné z toho, že moderní učebnice geometrie stále používají odlišnou terminologii pro poměry (poměr) a výsledky dělení (kvocient, kvocient). To má dva důvody. Zaprvé zde byla již zmíněná neochota uznat iracionální čísla za čísla pravdivá. Za druhé, nedostatek široce používaných symbolů (notací), které by nahradily již zavedenou terminologii poměrů, zdržel plné přijetí zlomků jako alternativy až do 16. století. [osm]

Euklidovy definice

Kniha V Euklidových prvků obsahuje 18 definic týkajících se vztahů [9] . Euclid navíc používá myšlenky, které byly tak široce používány, že je nedefinuje. První dvě definice říkají, že součástí veličiny je jiná veličina, která ji „měří“, a naopak násobek veličiny je jiná veličina, která se jí měří. V moderních termínech to znamená, že násobek množství je množství vynásobené celým číslem větším než jedna a zlomek množství (tj. dělitel ), když je vynásoben číslem větším než jedna, dává toto množství.

Euklides nedefinuje slovo „měřit“. Lze však předpokládat, že pokud je veličina brána jako měrná jednotka a jiná veličina je reprezentována jako celkový počet takových měrných jednotek, pak první veličina měří druhou. Všimněte si, že tyto definice se téměř slovo od slova opakují jako definice 3 a 5 v knize VII.

Definice 3 vysvětluje, co je to vztah v obecném smyslu. Není to matematicky přesné a někteří učenci jej připisují spíše editorům než samotnému Euklidovi. [10] Euclid definuje poměr mezi dvěma množstvími stejného druhu , jako jsou dva segmenty nebo dvě oblasti, ale ne poměr délky k ploše. Definice 4 to dělá ještě přísnější. Uvádí, že poměr mezi dvěma veličinami existuje, pokud existuje násobek každé, který je větší než druhý. V moderních termínech: vztah mezi množstvími p a q existuje jestliže tam jsou celá čísla m a n taková to mp > q a nq > p . Tato podmínka je známá jako Archimédův axiom .

Definice 5 je nejsložitější a obtížně pochopitelná. Vysvětluje, co znamená rovnost pro dva poměry. Dnes lze jednoduše konstatovat, že poměry jsou stejné, pokud jsou výsledky dělicích členů stejné, ale Euklides neuznával existenci výsledků dělení pro nesouměřitelné veličiny, takže by pro něj taková definice postrádala smysl. Pro případ veličin, které se navzájem přímo neměří, bylo proto zapotřebí jemnější definice. I když nemusí být možné přiřadit racionální hodnotu k poměru, je možné porovnat poměr k racionálnímu číslu. Vzhledem ke dvěma veličinám p a q a racionálnímu číslu m / n můžeme říci, že poměr p ku q je menší, roven nebo větší než m / n , když np je menší než, roven nebo větší než mq , resp. Euklidovská definice rovnosti může být vyjádřena následovně: dva poměry jsou si rovny, když se chovají stejným způsobem, zatímco jsou menší, rovné nebo větší než jakékoli racionální číslo. V moderním zápisu to vypadá takto: dané veličiny p , q , r a s , p : q :: r : s platí , pokud pro všechna kladná celá čísla m a n platí vztah np < mq , np = mq , np > mq v podle nr < ms , nr = ms , nr > ms . Mezi touto definicí a teorií Dedekindova řezu používanou v moderní teorii iracionálních čísel je pozoruhodná podobnost [11] .

Definice 6 říká, že veličiny se stejným poměrem jsou úměrné nebo proporcionální . Euklides používá řecké slovo ἀναλόγον (analogon), se stejným kořenem jako λόγος, ze kterého je odvozeno slovo „analog“.

Definice 7 vysvětluje, co znamená, že poměr je menší nebo větší než jiný, a staví na myšlenkách z Definice 5. V moderní notaci: dané veličiny p , q , r a s , p : q > r : s , pokud existují kladná celá čísla ma n taková, že np > mq a nr ≤ ms .

Stejně jako u definice 3 je i definice 8 některými výzkumníky vnímána jako pozdní zařazení editorů. Říká, že tři členy p , q a r jsou v poměru, pokud p : q :: q : r . Toto se rozšíří na 4 členy p , q , ras jako p : q :: q : r :: r : s atd . Posloupnosti mající vlastnost, že poměry po sobě jdoucích členů jsou stejné, se nazývají geometrické posloupnosti . Definice 9 a 10 to uplatňují tak, že pokud p , q a r jsou v poměru, pak p : r je duplicitní poměr p : q , a pokud jsou p , q , r a s v poměru, pak p : s je trojitý poměr pro p : q . Jestliže p , q a r jsou v poměru, pak q je řekl, aby byl proporcionální průměr (nebo geometrický průměr ) p a r . Podobně, jestliže p , q , r a s jsou v poměru, pak q a r být řekl, aby byl zlý úměrný pro p a s .

Procento

Pokud vynásobíte všechna množství v poměru stejným číslem, poměr se nezmění. Například poměr 3:2 je stejný jako 12:8. Obvykle se poměrné členy redukují na nejnižšího společného jmenovatele nebo se vyjadřují ve zlomcích po stech ( procentech ). Někdy jsou pro usnadnění srovnání poměry prezentovány jako n : 1 nebo 1 : n .

Pokud směs obsahuje látky A , B , C a D v poměru 5:9:4:2, pak obsahuje 5 dílů A na 9 dílů B , 4 díly C a 2 díly D. Protože 5+9+4+2=20, celková směs obsahuje 5/20 A (5 dílů z 20), 9/20 B , 4/20  C a 2/20 D. Pokud tato čísla, dělená celkovou částkou, vynásobíme 100, dostaneme procenta: 25 % A, 45 % B, 20 % C a 10 % D (ekvivalent zápisu poměru jako 25:45:20:10 ).

Proporce

Pokud v jakékoli dané situaci uvažujeme dvě nebo více množství, která jsou v poměru – řekněme, jsou-li v košíku dvě jablka a tři pomeranče a pouze tyto – pak můžeme říci, že „celek“ obsahuje pět částí, které se skládají ze dvou částí jablek a tří kusů pomerančů. V tomto případě , nebo 40 % celku tvoří jablka a , nebo 60 % celku, jsou pomeranče. Toto srovnání dané veličiny s „celkem“ se někdy nazývá podíl. Proporce jsou někdy vyjádřeny v procentech , jak je uvedeno výše.

Další použití

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Wentworth, s. 55
  2. ↑ 1 2 3 Nová mezinárodní encyklopedie
  3. ↑ 1 2 Penny Cyclopedia, str. 307
  4. ↑ Smith, s. 477
  5. ↑ A. M. S. Boethius. Základy hudby / Příprava textu, překlad z latiny a komentář S. N. Lebeděva. M.: Vědecké a publikační centrum "Moskevská konzervatoř", 2012, pp. xxxiv-xxxv, 276.
  6. ↑ Heath, 1908 , str. 112.
  7. ↑ Heath, 1908 , str. 113.
  8. ↑ Smith, s. 480
  9. ↑ Heath, 1908 , odkaz na sekci.
  10. ↑ "Geometrie, euklidovská" Encyclopædia Britannica Jedenácté vydání p682.
  11. ↑ Heath, 1908 , str. 125.

Literatura