Geometrický vážený průměr

Geometrický vážený průměr je jakýmsi průměrem , zobecněním geometrického průměru . Pro množinu nezáporných reálných čísel s reálnými váhami taková, že , je definováno jako [1] $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$ $\sum _{i=1}^{n}w_{i}\neq 0$

{\bar {x}}=\left(\prod _{{i=1}}^{n}x_{i}^{{w_{i}}}\right)^{{1/\sum _{ {i=1}}^{n}w_{i}}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{{i=1}}^{n}w_{i}} }\;\součet _{{i=1}}^{n}w_{i}\ln x_{i}\vpravo)

Výše uvedené vzorce mají smysl pro jakékoli hodnoty vah, kromě případů, kdy některé a odpovídající váhy . Proto se zpravidla předpokládá, že všechna čísla . Obvykle se berou v úvahu i nezáporné váhy. $x_{i}=0$ $w_{i}\leq 0$ $x_{i}>0$

Pokud jsou váhy normalizovány na jedničku (to znamená, že jejich součet je roven jedné), pak má geometrický vážený průměr jednodušší podobu: $w_{1},\ldots ,w_{n}$

{\bar {x}}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\exp \sum _{i=1}^{n}w_ {i}\ln x_{i}

Vlastnosti

Aritmetický vážený průměr logaritmů některých čísel je roven logaritmu geometrického váženého průměru těchto čísel se stejnými váhami.
Pokud jsou všechny váhy ( ) stejné, pak se vážený geometrický průměr stane obvyklým geometrickým průměrem . $w_{i}$ $i=1,2,...,n$

Příklad použití

Nechť je dáno diskrétní rozdělení pravděpodobnosti . Označme geometrickým váženým průměrem hodnot s váhami , tzn. ${\displaystyle P=\{p_{i}|\,i=1,2,...,N\))$ ${\overline {N))$ ${\displaystyle 1/p_{i))$ $p_{i}$

{\overline {N}}=\prod _{i=1}^{N}{(1/p_{i})}^{p_{i}}

Potom lze Shannonovu entropii distribuce zapsat jako $P$

H(P)=\log {\overline {N}}=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}

Hodnota je interpretována jako efektivní počet stavů systému. ${\overline {N))$

Poznámky

↑ Řepová M. L., Sazánová E. V. Obecná teorie statistiky ve schématech, vzorcích, tabulkách . - Archangelsk: AGTU, 2007. - 24 s. Archivováno 13. října 2017 na Wayback Machine

Znamenat
Matematika	Střední mocnina ( vážená ) harmonický průměr vážený geometrický průměr vážený Průměrný vážený střední kvadratická Průměrný krychlový klouzavý průměr Aritmecko-geometrický průměr Funkce Průměr Kolmogorov znamená
Geometrie	geometrický střed Barycentrum
Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika	Winsorized průměr průměr vzorku Očekávaná hodnota Medián Móda standardní odchylka Zkrácený průměr Podmíněné očekávání
Informační technologie	Medoid k-mediánová metoda
Věty	První střední věta Druhá střední věta Nerovnost o aritmetickém, geometrickém a harmonickém průměru
jiný	Metriky distribučního centra