Střední vážený výkon

Mocninně vážený průměr je druh střední hodnoty . Pro množinu kladných reálných čísel s parametrem a nezápornými váhami je definováno jako $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $q\neq 0$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$

{\bar {x}}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}{\sum _{i= 1}^{n}w_{i}}}\vpravo)^{1/q}

Pokud jsou váhy normalizovány na jedničku (to znamená, že jejich součet je roven jedné), pak výraz pro vážený mocninný průměr nabývá tvaru $w_{1},\ldots ,w_{n}$

{\bar {x}}=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}

Vlastnosti

V případě, že jsou všechny váhy stejné, je vážený mocninný průměr roven mocninnému průměru . $w_{i}$
Vážený aritmetický průměr a vážený harmonický průměr jsou speciální případy mocninového váženého průměru pro a . $q=1$ $q=-1$
V limitu at konverguje vážený mocninný průměr k váženému geometrickému průměru . $q\to 0$

Vztah s Rényiho entropií

Informační entropii určitého systému lze definovat jako logaritmus počtu dostupných stavů systému (nebo jejich efektivní počet, pokud stavy nejsou stejně pravděpodobné). Vezměme v úvahu, že pravděpodobnosti , že systém bude ve stavu s číslem ( ), jsou normalizovány na . Pokud jsou stavy systému ekvipravděpodobné a mají pravděpodobnost , pak . V případě různých pravděpodobností stavů definujeme efektivní počet stavů jako vážený mocninný průměr hodnot s váhami a parametrem (kde ): $p_{i}$ $i$ $i=1,\ldots ,N$ $jeden$ $p$ $N=1/p$ $p_{i}$ ${\overline {N))$ $x_{i}=1/p_{i}$ $p_{i}$ $q=1-\alpha$ $\alpha \neq 1$

{\overline {N}}=\left(\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}=\left (\sum _{i=1}^{N}p_{i}(1/p_{i})^{1-\alpha }\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}= \left(\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{\alpha }\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}

Odtud dostaneme výraz pro entropii

H=\log {\overline {N}}=\log \left(\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{\alpha }\right)^{\frac {1 }{1-\alpha }}={\frac {1}{1-\alpha }}\log \sum _{i=1}^{N}p_{i}^{\alpha }

shodující se s výrazem pro Rényiho entropii [1] . Je snadné vidět, že v limitě na (nebo ) Renyiho entropie konverguje k Shannonově entropii (navzdory skutečnosti, že vážený mocninný průměr konverguje k váženému geometrickému průměru ). Podle definice Rényiho entropie musí být dodrženo další omezení (nebo ). $\alpha \to 1$ $q\to 0$ $\alpha \geq 0$ $q\leq 1$

Poznámky

↑ Zaripov, 2005 , s. 108-125.

Literatura

Zaripov R. G. Nová opatření a metody v teorii informace. - Kazaň: Kazaňské nakladatelství. Stát tech. un-ta, 2005. - 364 s.

Znamenat
Matematika	Střední mocnina ( vážená ) harmonický průměr vážený geometrický průměr vážený Průměrný vážený střední kvadratická Průměrný krychlový klouzavý průměr Aritmecko-geometrický průměr Funkce Průměr Kolmogorov znamená
Geometrie	geometrický střed Barycentrum
Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika	Winsorized průměr průměr vzorku Očekávaná hodnota Medián Móda standardní odchylka Zkrácený průměr Podmíněné očekávání
Informační technologie	Medoid k-mediánovou metodou
Věty	První střední věta Druhá střední věta Nerovnice o aritmetickém, geometrickém a harmonickém průměru
jiný	Metriky distribučního centra