Statická izotropní metrika

Statická izotropní metrika je metrika , která definuje statické izotropní gravitační pole . Speciálním případem této metriky je Schwarzschildova metrika , pro případ prázdného (nic nenaplněného) časoprostoru [1] .

Definice

Slova statický a izotropní znamenají následující: vždy lze najít sadu souřadnic blízko souřadnic Minkowského , takže vlastní invariantní čas nezávisí na , ale závisí pouze na invariantech skupiny rotace: . Nejobecnější forma záznamu intervalu: $x^{1},x^{2},x^{3},x^{0}=t$ ${\displaystyle d\tau ^{2}=-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu ))$ $t$ $\mathbf {x} ,\mathbf {dx}$ $\mathbf {x^{2}} ,\mathbf {x} \cdot \mathbf {dx} ,\mathbf {dx^{2}}$ $d\tau ^{2}=F(r)dt^{2}-2E(r)dt\mathbf {x} \cdot \mathbf {dx} -D(r)(\mathbf {x} \ cdot \mathbf {dx} )^{2}-C(r)\mathbf {dx^{2}} ,$

kde jsou neznámé funkce množství $F,E,C,D$ $r\equiv (\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )^{1/2}$

Redukce na standardní formu

Je výhodné nahradit sférickými polárními souřadnicemi : $\mathbf {x}$ $r,\theta ,\phi$

x^{1}=r\sin \theta \cos \varphi \,;

x^{2}=r\sin \theta \sin \varphi \,;

x^{3}=r\cos \varphi \,.

Interval v tomto případě bude mít tvar:

d\tau ^{2}=F(r)dt^{2}-2rE(r)dtdr-r^{2}D(r)dr^{2}-C(r)(dr^{ 2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})

Můžeme nastavit naše hodiny, abychom určili novou časovou souřadnici

t'\equiv t+\Phi (r)

kde je libovolná funkce . To nám umožňuje eliminovat off-diagonální prvek nastavením $\Phi (r)$ $r$ ${\displaystyle g_{tr))$

{\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {rE(r)}{F(r)))

Potom je interval vyjádřen takto:

d\tau ^{2}=F(r)dt'^{2}-r^{2}G(r)dr^{2}-C(r)(dr^{2}+r^ {2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})

G(r)\equiv r^{2}\left(D(r)+{\frac {E^{2}(r)}{F(r)))\right)

Můžeme předefinovat poloměr a tím uložit další podmínku funkcím , například takto . Pak dostaneme takzvaný standardní tvar pro statickou izotropní metriku: $r$ $F,G,C$ $r'\equiv r^{2}C(r)$

d\tau ^{2}=B(r')dt'^{2}-A(r')dr'^{2}-r'^{2}(d\theta ^{2}+ \sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})

kde

B(r)\equiv F(r')

A(r)\equiv \left(1+{\frac {G(r)}{C(r)}}\right)\left(1+{\frac {r}{2C(r)} }{\frac {dC(r)}{dr}}\right)^{-2}.

Po poslední transformaci má metrický tenzor následující nenulové složky:

g_{rr}=A(r)

{\displaystyle g_{\theta \theta }=r^{2))

g_{\phi \phi }=r^{2}sin^{2}\theta

g_{tt}=-B(r)

Kde funkce i musí být určeny řešením rovnic pole. Protože se jedná o diagonální tenzor, je snadné zapsat nenulové složky tenzoru inverzně k němu: $A(r)$ $B(r)$ ${\displaystyle g_{\mu \nu ))$

g^{rr}=A^{-1}(r)

{\displaystyle g^{\theta \theta }=r^{-2))

g^{\phi \phi }=r^{-2}sin^{-2}\theta

g^{tt}=-B^{-1}(r)

Christoffelovy symboly a Ricciho tensor

Afinní spojení lze vypočítat pomocí obvyklého vzorce:

\Gamma _{ij}^{s}={1 \over 2}\,g^{sk}\left(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki }-\částečné _{k}g_{ij}\right)

Jeho nenulové složky se ukáží jako stejné:

\Gamma _{rr}^{r}={\frac {1}{2A(r))){\frac {dA(r)}{dx))

\Gamma _{\phi \phi }^{r}=-{\frac {rsin^{2}\theta }{A(r)))

\Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta r}^{\theta }={\frac {1}{r))

\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }={\frac {1}{r))

\Gamma _{\theta \theta }^{r}=-{\frac {r}{A(r)))

\Gamma _{tt}^{r}={\frac {1}{2A(r))){\frac {dB(r)}{dx))

\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }=-sin\theta cos\theta

\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi \theta }^{\phi }=ctg\theta

\Gamma _{tr}^{t}=\Gamma _{rt}^{t}={\frac {1}{2B(r))){\frac {dB(r)}{dx} }

Vypočítáme také Ricciho tenzor. Je to dáno výrazem

R_{\sigma \nu }={R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }={\partial _{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}-\částečné _{\nu }\Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{ \lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \sigma }^{\lambda }.

Nahrazením dříve získaných komponent afinního spojení získáme:

R_{rr}={\frac {B''(r)}{2B(r)}}-{\frac {1}{4}}{\frac {B'(r)}{B( r)))\left({\frac {A'(r)}{A(r)}}+{\frac {B'(r)}{B(r)}}\right)-{\frac { 1}{r}}{\frac {A'(r)}{A(r)))

R_{\theta \theta }=-1+{\frac {r}{2A(r)}}\left(-{\frac {A'(r)}{A(r)))+{ \frac {B'(r)}{B(r)}}\right)+{\frac {1}{A(r)}}

{\displaystyle R_{\phi \phi }=sin^{2}\theta R_{\theta \theta ))

R_{tt}={\frac {B''(r)}{2A(r)}}-{\frac {1}{4}}{\frac {B'(r)}{A( r)))\left({\frac {A'(r)}{A(r)}}+{\frac {B'(r)}{B(r)}}\right)-{\frac { 1}{r}}{\frac {B'(r)}{A(r)))

(Prvočíslo nyní znamená diferenciaci s ohledem na ). Kvůli neměnnosti metriky při rotacích jsou složky , , , , shodně rovné nule a . Rovnost na nulu je způsobena tím, že jsme nastavili naše hodiny tak, aby se metrika ukázala jako invariantní při obrácení času . $r$ $R_{\theta r}$ $R_{\theta \phi }$ $R_{\phi r}$ ${\displaystyle R_{\phi t))$ ${\displaystyle R_{\theta t))$ ${\displaystyle R_{\phi \phi }=sin^{2}R_{\theta \theta ))$ ${\displaystyle R_{tr))$ $t\leftrightarrow -t$

Poznámky

↑ Weinberg S. Gravitace a kosmologie. — M.: Mir, 1975.