Mocninná řada

Mocninná řada s jednou proměnnou je formální algebraické vyjádření tvaru:

F(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}X^{n},

ve kterém jsou koeficienty převzaty z nějakého kruhu . ${a_{n}}$ ${R}$

Prostor mocninných řad

Prostor mocninných řad s jednou proměnnou a koeficienty od se značí . Prostor má strukturu diferenciální algebry nad prstencem ( komutativní , integrální, s jednotkou, pokud ano je prsten ). V matematice se často používá kvůli tomu, že jsou v něm snadno reprezentovatelné a řešitelné formální diferenciálně-algebraické a dokonce i funkční vztahy (viz metoda generování funkcí ). Při jeho použití se tyto vztahy mění v algebraické rovnice pro koeficienty řady. Pokud jsou vyřešeny, hovoří se o získání formálního řešení původního problému ve formě formální mocninné řady. ${R}$ $R[[X]]$ $R[[X]]$ ${R}$ ${R}$

Jsou definovány operace sčítání, násobení, formální diferenciace a formální superpozice . Nechat $R[[X]]$

F(X)=\součet \limits _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}X^{n},G(X)=\součet \limits _{{n=0} }^{{\infty }}b_{n}X^{n},H(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}c_{n}X^{n }.

Pak:

H=F+G\Šipka doleva \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n}

H=F\,\cdot \,G\Šipka doleva \forall n\,c_{n}=\součet \limits _{{k+l=n}}a_{k}b_{l}

H=F\circ G\Šipka doleva \forall n\,c_{n}=\součet \limits _{{s=1}}^{n}a_{s}\součet \limits _{{k_{1}+ \dots +k_{s}=n}}b_{{k_{1}}}b_{{k_{2}}}\tečky b_{{k_{s}}}

(přitom je nutné dodržet )

b_{0}=0

H=F'\Šipka doleva \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{{n+1}}

Konvergence mocninných řad

Z formální mocninné řady s reálnými nebo komplexními koeficienty můžete přiřazením nějaké hodnoty formální proměnné v oboru reálných nebo komplexních čísel získat číselnou řadu . Číselná řada je považována za konvergentní ( sčítanou ), jestliže posloupnost dílčích součtů složených z jejích členů konverguje, a nazývá se absolutně konvergentní , jestliže konverguje posloupnost dílčích součtů složených z jejích členů braných modulo (v normě). ${X}$

Známky konvergence

Pro mocninné řady existuje několik vět, které popisují podmínky a povahu jejich konvergence.

Abelův první teorém : Nechť řadakonverguje v bodě. Pak tato řada konverguje absolutně v kruhua rovnoměrně vjakékoli kompaktní podmnožině tohoto kruhu. $\Sigma \,a_{n}x^{n}$ ${x_{0}}$ ${|x|<|x_{0}|}$ ${X}$

Převrácením této věty získáme, že pokud mocninná řada diverguje pro , diverguje pro všechny takové, že . Z Abelovy první věty také vyplývá, že existuje takový poloměr kružnice (možná nulový nebo nekonečný), že pro , řada konverguje absolutně (a rovnoměrně v kompaktních podmnožinách kružnice ), a pro , diverguje. Tato hodnota se nazývá poloměr konvergence řady a kružnice se nazývá kružnice konvergence. ${x=x_{0}}$ ${X}$ ${|x|>|x_{0}|}$ ${R}$ ${|x|<R}$ $X$ ${|x|<R}$ ${|x|>R}$ $R$ ${|x|<R}$

Cauchyho-Hadamardův vzorec : Hodnotu poloměru konvergence mocninné řady (pokud existuje horní mez a je kladná, Hadamardova věta o mocninné řadě ) lze vypočítat ze vzorce:

{1 \over R}={\varlimsup \limits _{{n\rightarrow +\infty }}}\,|a_{n}|^{{1/n}}

(Definici horního limitu naleznete v článku „ Limit dílčí sekvence “.) $\varlimsup \limits _{{n\rightarrow +\infty }}$

Dovolit a být dvě mocninné řady s poloměry konvergence a . Pak $F(x)$ $G(x)$ ${R_{F}}$ ${R_{G}}$

R_{{F+G}}\geq \min\{R_{F},\,R_{G}\}

R_{{F\cdot G}}\geq \min\{R_{F},R_{G}\}

R_{{F'}}\,=\,R_{F}

Pokud je průsečík série nulový, pak $G(x)$

R_{{F\circ G}}\geq {R_{F} \over {R_{F}+1}}R_{G}

Otázka konvergence řady v bodech hranice kružnice konvergence je poměrně složitá a neexistuje zde obecná odpověď. Zde jsou některé věty o konvergenci řady na hraničních bodech kruhu konvergence: ${|x|=R}$

D'Alembertovo znamení : Pokud nerovnost platí pro a $n>N$ $\alpha >1$

\left|{a_{n} \over a_{{n+1}}}\right|\geq R\left(1+{\alpha \over n}\right)

pak mocninná řada konverguje ve všech bodech kružnice absolutně a rovnoměrně v .

\Sigma \,a_{n}x^{n}

{|x|=R}

X

Dirichletovo znaménko : Pokud jsou všechny koeficienty mocninné řadykladné a posloupnostmonotónně konverguje k nule, pak tato řada konverguje ve všech bodech kružnice, snad kromě bodu. $\Sigma \,a_{n}x^{n}$ $a_n$ ${|x|=1}$ ${x=1}$

Součet mocninných řad jako funkce komplexního parametru je předmětem studia v teorii analytických funkcí . $X$

Viz také

Variace a zobecnění

Mocninná řada v n proměnných je formální algebraické vyjádření tvaru:

F(X_{1},X_{2},\tečky ,X_{n})=\součet \limits _{{k_{1},k_{2},\tečky ,k_{n}=0}}^ {{+\infty }}a_{{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}}X_{1}^{{k_{1}}}X_{2}^{{k_ {2}}}\dots X_{n}^{{k_{n}}}

nebo ve víceindexové notaci,

F(X)=\sum \limits _{{\alpha }}a_{{\alpha }}X^({\alpha }}),

kde je vektor , je multiindex , je jednočlenný . Prostor mocninných řad v proměnných a koeficientech od se značí . Definuje operace sčítání, násobení, diferenciace s ohledem na každou proměnnou a -lokální superpozice. Nechat $X$ $X=(X_{1},X_{2},\tečky ,X_{n})$ $\alpha$ $\alpha =(k_{1},k_{2},\tečky ,k_{n})$ $X^{{\alpha ))$ $X^{{\alpha }}=X_{1}^{{k_{1}}}X_{2}^{{k_{2}}}\tečky X_{n}^{{k_{n}}}$ $n$ $R$ $R[[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]]$ $n$

F(X)=\sum \limits _{{\alpha }}a_({\alpha }}X^{{\alpha }}),G(X)=\sum \limits _{{\alpha }}b_ { {\alpha }}X^{{\alpha }},H(X)=\sum \limits _{{\alpha }}c_({\alpha }}X^{{\alpha }}.

Pak:

H=F+G\Šipka doleva \forall {\alpha }\,c_({\alpha }}=a_{{\alpha }}+b_{{\alpha }}

H=F\,\cdot \,G\Šipka doleva \forall {\alpha }\,c_({\alpha }}=\součet \limits _({\beta +\gamma =\alpha }}a_{{\beta }}b_{{\gamma }}

H={\částečné F \over \částečné X_{i}}\Šipka doleva \forall (k_{1},k_{2},\tečky ,k_{n})\,c_{{k_{1},k_{ 2},\tečky ,k_{n}}}=(k_{i}+1)a_{{(k_{1},k_{2},\tečky ,k_{i}+1,\tečky ,k_{ n})}}