Stochastická matice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. listopadu 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Stochastická matice v teorii pravděpodobnosti je nezáporná matice, ve které je součet prvků libovolného řádku nebo sloupce roven jedné.

Definice

Matice se nazývá pravá stochastická (nebo jednoduše stochastická), pokud $P=(P_{{ij}}),\;i,j=1,2,\ldots$

P_{{ij}}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots

a .

\sum \limits _{{j=1}}^{{\infty }}P_{{ij}}=1,\quad \forall i

Matice se nazývá levý stochastický if

P_{{ij}}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots

a .

\sum \limits _{{i=1}}^{{\infty }}P_{{ij}}=1,\quad \forall j

Matice se nazývá dvojitě stochastická , pokud je levá a pravá stochastická.

Poznámka

Správná stochastická matice je matice pravděpodobnosti přechodu pro nějaký Markovův řetězec .

Vlastnosti

Jestliže a jsou dvě levé (pravé, dvakrát) stochastické matice, pak jejich součin je také levá (pravá, dvakrát) stochastická matice. $P$ $Q$ $R=PQ$

Regulární stochastická matice

Konečná stochastická matice se nazývá regulární , pokud taková existuje $P=(P_{{ij}}),\;i,j=1,\ldots ,N$ $n\in \mathbb {N}$

p_{{ij}}^{{(n)}}>0,\quad \forall i,j=1,\ldots ,N

kde jsou prvky té mocniny matice , tj . . $p_{{ij}}^{{(n)}}$ $n$ $P$ $P^{n}=\left(p_{{ij}}^{{(n)}}\right)$

Ergodická věta

Jestliže je regulární stochastická matice, pak existuje vektor takový, že $P$ ${\mathbf {\pi }}=(\pi _{1},\ldots ,\pi _{N})$

P^{n}\to {\mathbf {1}}^{{\top }}{\mathbf {\pi }}

kde je vektor dimenze sestávající z jednotek . ${\mathbf {1}}=(1,\ldots,1)$ $1\times N$