Stojatá vlna

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. února 2016; kontroly vyžadují 8 úprav .

Stojaté vlnění je jev interference vlnění šířícího se v opačných směrech, při kterém je přenos energie oslabený nebo zcela chybí [1] .

Stojatá vlna (elektromagnetická) - periodická změna amplitudy elektrického a magnetického pole ve směru šíření, způsobená interferencí dopadajícího a odraženého vlnění [2] .

Stojaté vlnění je oscilační (vlnový) proces v distribuovaných oscilačních systémech s charakteristickým prostorově stabilním uspořádáním střídajících se maxim ( antinodů ) a minim ( uzlů ) amplitudy . K takovému oscilačnímu procesu dochází, když interferuje několik koherentních vln.

Například stojatá vlna vzniká, když se vlna odrazí od překážek a nehomogenit v důsledku interakce (interference) dopadajícího a odraženého vlnění. Na výsledek rušení má vliv frekvence kmitů, modul a fáze koeficientu odrazu, směry šíření dopadajících a odražených vln vůči sobě, změna nebo zachování polarizace vln při odrazu, koeficient útlumu vln v prostředí šíření. Přísně vzato, stojatá vlna může existovat pouze v případě, že nedochází ke ztrátám v prostředí šíření (nebo v prostředí aktivním) a dopadající vlna se zcela odráží. V reálném prostředí je však pozorován režim smíšeného vlnění, protože vždy dochází k přenosu energie do míst absorpce a emise. Pokud je vlna při pádu zcela absorbována , pak odražená vlna chybí, nedochází k interferenci vln, amplituda vlnění v prostoru je konstantní. Takový vlnový proces se nazývá putující vlna .

Příkladem stojaté vlny jsou vibrace strun , vibrace vzduchu v píšťale [3] ; v přírodě - Schumannovy vlny . Rubensova trubice se používá k demonstraci stojatých vln v plynu .

Dvourozměrná stojatá vlna na elastickém disku. Základní móda
Vyšší režim stojatých vln na elastickém disku

V případě harmonických kmitů v jednorozměrném prostředí je stojatá vlna popsána vzorcem:

u=u_{0}\cos kx\cos(\omega t-\varphi )

kde u jsou poruchy v bodě x v čase t , je amplituda stojaté vlny, je frekvence, k je vlnový vektor a je fáze . $u_{0}$ $\omega$ $\varphi$

Stojaté vlny jsou řešením vlnových rovnic . Lze si je představit jako superpozici vln šířících se v opačných směrech.

Když je v médiu stojaté vlnění, existují body, kde je amplituda kmitání rovna nule. Tyto body se nazývají uzly stojaté vlny. Body, ve kterých mají oscilace maximální amplitudu, se nazývají antinody .

Mods

Stojaté vlny vznikají v rezonátorech . Konečné rozměry rezonátoru kladou další podmínky pro existenci takových vln. Zejména u systémů konečných rozměrů může vlnový vektor (a následně i vlnová délka ) nabývat pouze určitých diskrétních hodnot . Oscilace s určitými hodnotami vlnového vektoru se nazývají režimy .

Například různé způsoby vibrace struny upnuté na koncích určují její základní tón a podtext .

Matematický popis stojatého vlnění

V jednorozměrném případě se budou vzájemně ovlivňovat dvě vlny stejné frekvence, vlnové délky a amplitudy šířící se v opačných směrech (například k sobě), což má za následek stojaté vlnění. Například harmonická vlna šířící se doprava, dosahující konce struny, vytváří stojatou vlnu. Vlna, která se odráží od konce, musí mít stejnou amplitudu a frekvenci jako dopadající vlna.

Uvažujme incident a odražené vlny ve tvaru:

y_{1}\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)

y_{2}\;=\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t)

kde:

y 0 je amplituda vlny,
$\omega$ - cyklická (úhlová) frekvence, měřená v radiánech za sekundu,
k je vlnový vektor měřený v radiánech na metr a vypočítá se jako dělený vlnovou délkou , $2\pi$ $\lambda$
x a t jsou proměnné délky a času.

Výsledná rovnice pro stojatou vlnu y bude tedy součtem y 1 a y 2 :

y\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)\;+\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t).

Pomocí goniometrických vztahů lze tuto rovnici přepsat jako:

y\;=\;2\,y_{0}\,\cos(\omega t)\;\sin(kx).

Pokud vezmeme v úvahu módy a antimódy , pak bude vzdálenost mezi sousedními módy/antimódy rovna polovině vlnové délky . $x=0,\lambda /2,3\lambda /2,...$ $x=\lambda /4,3\lambda /4,5\lambda /4,...$ $\lambda /2$

Vlnová rovnice

Získat stojaté vlny jako výsledek řešení homogenní diferenciální vlnové rovnice (d'Alembert)

( ∇ 2 − jeden proti 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) u = 0 {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right )u=0}

\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right )u=0

jeho okrajové podmínky musí být vhodně nastaveny (například pro fixaci konců řetězce).

V obecném případě nehomogenní diferenciální rovnice

( ∇ 2 − jeden proti 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) u = F 0 u , {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right )u=f_{0}u,}

\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right )u=f_{0}u,

kde - hraje roli "síly", s jejíž pomocí se v určitém bodě struny provede posun, automaticky vzniká stojaté vlnění. $f_0$

Viz také

Poznámky

↑ IEEE Electrical Engineering Dictionary / PALaplante, ed. CRC Press LLC, 2000.
↑ GOST 18238-72. Mikrovlnné přenosové linky. Termíny a definice.
↑ Joe Wolfie "Struny, stojaté vlny a harmonické" . Získáno 12. srpna 2009. Archivováno z originálu 10. února 2009. (neurčitý)

Odkazy

Joe Wolfie "Struny, stojaté vlny a harmonické"