Součet (matematika)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. prosince 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Součet ( lat. summa - součet, součet) v matematice - výsledek aplikace operace sčítání veličin ( čísla , funkce , vektory , matice atd. ), nebo výsledek postupného provádění několika operací sčítání (sčítání). Všem případům jsou společné vlastnosti komutativnosti , asociativnosti a také distributivity s ohledem na násobení (pokud je pro uvažované veličiny definováno násobení), tedy naplnění vztahů:

a+b=b+a,

a+(b+c)=(a+b)+c,

(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c,

c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b,

V teorii množin je součet (nebo sjednocení) množin množina, jejíž prvky jsou všechny prvky kombinovaných množin, zabrané bez opakování.

Také sčítání (nalézání součtu) lze definovat pro složitější algebraické struktury (součet grup , součet lineárních prostorů , součet ideálů a další příklady). V teorii kategorií je definován pojem součtu objektů.

Součet přirozených čísel

Nechť množina obsahuje prvky tvořící podmnožinu a prvky tvořící podmnožinu ( , a a b jsou přirozená čísla). Potom aritmetický součet bude počet prvků , které tvoří podmnožinu získanou disjunktivním spojením dvou původních podmnožin $\mathbb {N}$ $A$ $A$ $b$ $B$ $A\subset \mathbb {N} ,B\subset \mathbb {N}$ $a+b$ $C$ $C\subset \mathbb {N}$ $C=A\sqcup B.$

Algebraický součet

Součet je matematicky označen velkým řeckým písmenem Σ (sigma) .

\sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n- 1}+a_{n}

kde: i — sumační index; a i je proměnná označující každý člen v řadě; m je dolní mez součtu, n je horní mez součtu. Zápis "i = m" pod symbolem součtu znamená, že počáteční (počáteční) hodnota indexu i je ekvivalentní m . Z tohoto zápisu vyplývá, že index i se zvyšuje o 1 v každém členu výrazu a zastaví se, když i = n . [jeden]

Při programování tento postup odpovídá smyčce for .

Příklady nahrávání

\sum _{i\mathop {=} 1}^{100}i=1+2+3+4+{...}+99+100

\sum _{i\mathop {=} 3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86

Hranice mohou být ze záznamu vynechány, pokud jsou jasné z kontextu:

\sum a_{i}^{2}=\sum _{i\mathop {=} 1}^{n}a_{i}^{2}.

Iterátor může být výraz - pak je proměnná formátována se závorkami jako funkce " ". Například součet všech s přirozenými čísly v určitém rozsahu: $F()$ $f(k)$ $k$

\sum _{0\leq k<100}f(k).

Součet prvků množiny : $f(x)$ $X$ $S$

\sum _{x\mathop {\in } S}f(x).

Součet všech kladných čísel , která jsou děliteli čísla : $\mu (d)$ $d$ $n$

\sum _{d|n}\;\mu (d).

Pod znakem iterativního součtu lze použít několik indexů, například:

\sum _{i,j}=\sum _{i}\sum _{j},

navíc soubor několika indexů lze redukovat formou tzv. multi -indexu .

Nekonečné množství

V matematickém rozboru je definován pojem řada – součet nekonečného počtu členů.

Příklady po sobě jdoucích součtů

1. Součet aritmetické posloupnosti :

\sum _{{i=0}}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}

2. Součet geometrické posloupnosti :

\sum _{{i=0}}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{{n+1}}}{1 -b}}

3. $\sum \limits _{{k=1}}^{n}k^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}=\left (\sum \limits _{{k=1}}^{n}k\right)^{2}$

čtyři. $\sum _{{i=0}}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\ left(1-{\frac {1}{p^{{n+1))))\right),\quad p\neq 1,n\geq 0$

Důkaz

\sum _{{i=0}}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}=\sum _{{i=0}}^{n }{1\cdot {{\frac {1}{p^{i))))}=1\cdot {\frac {1-{\left({\frac {1}{p))\right)} ^{{n+1}}}{1-{\frac {1}{p}}}}={\frac {{\frac {p^{{n+1}}-1}{p^{{ n+1}}}}}{{\frac {p-1}{p}}}}={\frac {p^{{n+1}}-1}{p^{n}(p-1 )}}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{{n+1}}}}\right)

5. $\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={\frac {np^{{n+2}}-(n+1)p^{{n+1}}+p }{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1$

Důkaz

\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}=\součet _{{i=1}}^{n}ip^{i}=p\cdot \sum _{{i= 1}}^{n}ip^{{i-1}}=p\cdot \sum _{{i=0}}^{{n-1}}(i+1)p^{i}=p \cdot \left(\sum _{{i=0}}^{{n-1}}{ip^{i}}+\sum _{{i=0}}^{{n-1}}p ^{i}\right)=p\cdot \sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}-p\cdot np^{n}+p\cdot {\frac {1-p ^{n}}{1-p}}\Rightarrow

\Rightarrow (1-p)\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={\frac {-np^{{n+1}}(1-p)+pp^{ {n+1}}}{1-p}}\Šipka doprava \sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={\frac {np^{{n+2}}-( n+1)p^{{n+1}}+p}{(1-p)^{2}}}

6. $\sum _{{i=0}}^{n}p^{i}=(p-1)\součet _{{i=0}}^{{n-1}}((ni)p^{ i})+n+1,\quad p\neq 1$

Důkaz

(p-1)\součet _{{i=0}}^{{n-1}}((ni)p^{i})+n+1=(p-1)\součet _{{i= 0}}^{n}((ni)p^{i})+n+1=(p-1)\left(n\cdot \sum _{{i=0}}^{n}p^{ i}-\součet _{{i=0}}^{n}ip^{i}\right)+n+1=

=(p-1)\left(n\cdot {\frac {1-p^{{n+1}}}{1-p}}-{\frac {np^{{n+2}}-( n+1)p^{{n+1}}+p}{(1-p)^{2}}}\right)+n+1=

={\frac {np^{{n+2}}-np-np^{{n+1}}+n-np^{{n+2}}+np^{{n+1}}+p ^{{n+1}}-p+pn-n+p-1}{p-1}}=

={\frac {p^{{n+1}}-1}{p-1}}=\sum _{{i=0}}^{n}p^{i}

Například, když se ukáže , a to je sekvence rovností následujícího tvaru:

p=10

\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}=9\cdot \sum _{{i=0}}^{{n-1}}((ni)10^{i} )+n+1

1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234 +5

Neurčená částka

Neurčitý součet nad je taková funkce , označená , že . $a_{i}$ $i$ $f(i)$ $\sum _{{i}}^{{}}a_{i}$ $\forall i: f(i+1) - f(i) = a_{i}$

"Diskrétní" Newton-Leibnizův vzorec

Pokud je nalezen "derivát" , pak . $a_{i}=f(i+1)-f(i)$ $\sum_{i=a}^b a_i = f(b+1)-f(a)$

Etymologie

Latinské slovo summa se překládá jako „hlavní bod“, „podstata“, „celkem“. Od 15. století se slovo začíná používat v moderním smyslu a objevuje se i sloveso „sčítat“ (1489).

Toto slovo proniklo do mnoha moderních jazyků: sum v ruštině, sum v angličtině, somme ve francouzštině.

Zvláštní symbol pro označení součtu ( Σ ) poprvé zavedl Leonhard Euler v roce 1755, podporoval jej Lagrange , ale tomuto symbolu dlouho konkuroval znak S. Označení Σ pro sumu bylo nakonec schváleno již v r. 18. století od Fouriera a Jacobiho [2] .

Kódování

Unicode má symbol součtu U+2211 ∑ n-ární sumace (HTML ∑ • ∑).

Viz také

Poznámky

↑ Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Kapitola 2: Sumy // Konkrétní matematika: Základ pro informatiku (2. vydání ) . - Addison-Wesley Professional , 1994. - ISBN 978-0201558029 . (nedostupný odkaz)
↑ Alexandrova N. V. Historie matematických termínů, pojmů, notace: Slovník-příručka . - 3. vyd. - Petrohrad. : LKI, 2008. - S. 175 . — 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .

Literatura

Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. - 7. - M. : Nauka, 1969. - T. 1. - 608 s. — 100 000 výtisků.

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4193845-8