Riemannův součet

Riemannův součet je jedním z mechanismů pro určení integrálu prostřednictvím součtu tvaru . Používá se v definici Riemannova integrálu . Pojmenován po objeviteli Bernhardu Riemannovi . $\sum f(x)\Delta x$

Definice

Dovolit je funkce definovaná na podmnožině na reálném řádku . je uzavřený interval obsažený v . je oddíl , ve kterém . $f:D\rightarrow R$ $D$ $R$ $I=[a,b]$ $D$ $P={[x_{0},x_{1}),[x_{1},x_{2}),...[x_{n-1},x_{n}]}$ $já$ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}...<x_{n}=b$

Riemannův součet dělené funkce je definován takto: $F$ $P$

S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})

kde . Volba v tomto intervalu je libovolná. Pokud pro všechny , pak se nazývá levý Riemannův součet . If , then se nazývá správný Riemannův součet . Jestliže , pak se nazývá střední Riemannův součet . Průměrná hodnota levého a pravého Riemannova součtu se nazývá lichoběžníkový součet . ${\displaystyle x_{i-1}\leqslant x_{i}^{*}\leqslant x_{i))$ $x_{i}^{*}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1))$ $i$ $S$ ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i))$ $S$ $x_{i}^{*}={\frac {1}{2}}(x_{i}+x_{i-1})$ $S$

Pokud je Riemannův součet reprezentován jako:

S=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x_{i}-x_{i-1})

kde je přesná horní hranice množiny na intervalu, pak se nazývá horní Riemannův součet . Podobně, jestliže je přesná dolní mez množiny interval , pak se nazývá dolní Riemannův součet . $v_{i}$ $F$ $[x_{i-1},x_{i}]$ $S$ $v_{i}$ $F$ $[x_{i-1},x_{i}]$ $S$

Jakýkoli Riemannův součet s daným oddílem (při výběru libovolné hodnoty z intervalu ) je mezi dolním a horním Riemannovým součtem. $x_{i}^{*}$ $[x_{i-1},x_{i}]$

Jestliže pro funkci a segment existuje limita Riemannových součtů, když rozdělovací krok inklinuje k nule (bez ohledu na volbu ), pak se tato limita nazývá Riemannův integrál funkce na segmentu a značí se . $F$ $[a;b]$ $x_{i}^{*}$ $F$ $[a;b]$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Literatura

V.A. Ilyin , V.A. Sadovnichy , Bl. H. Sendov . Matematická analýza. Počáteční kurz. - 2., revidováno. - Nakladatelství Moskevské univerzity, 1985. - T. 1. - 660 s.