Kulovitost

Sféricita je kvantitativní míra toho, jak kulovitý (kulatý) objekt je.

Kulovitost částice, kterou definoval H. Wadell v roce 1935 [1] , je poměr plochy povrchu koule (stejného objemu jako daná částice) k ploše povrchu částice: $\psi$

\Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}},

kde se rovná objemu částice a rovná se ploše povrchu částice. Kulovitost koule je podle definice rovna jedné a kvůli izoperimetrické nerovnosti je kulovitost jakéhokoli jiného tělesa menší než jedna. $V_{p}$ $A_{p}$

Odvození vzorce

Hakon Wadell definoval kulovitost jako poměr plochy povrchu koule rovného objemu dané částici k ploše povrchu dané částice. Uvažujme nejprve kulovou částici, jejíž povrch a její objem se rovná objemu zkoumané částice. $Tak jako$ $V_{p}$

Plochu této částice vyjadřujeme jejím objemem : $Tak jako$ $V_{p}$

A_{s}^{3}=\left(4\pi r^{2}\right)^{3}=4^{3}\pi ^{3}r^{6}=4\ pi \left(4^{2}\pi ^{2}r^{6}\right)=4\pi \cdot 3^{2}\left({\frac {4^{2}\pi ^{ 2}}{3^{2}}}r^{6}\right)=36\pi \left({\frac {4\pi }{3}}r^{3}\right)^{2} =36\,\pi V_{p}^{2}.

Tudíž,

A_{s}=\left(36\,\pi V_{p}^{2}\right)^{\frac {1}{3}}=36^{\frac {1}{3} }\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=6^{\frac {2}{3}}\pi ^{\frac {1 }{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2 }{3}}.

Potom výraz pro kulovitost pro libovolnou částici s povrchem a objemem nabývá tvaru $\psi$ $A_{p}$ $V_{p}$

\Psi ={\frac {A_{s}}{A_{p}}}={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right) ^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}.

Příklady

Elipsoidní objekty

Kulovitost zploštělého sféroidu je $\psi$

\Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}={ \frac {2{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}{a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}} }\ln {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2)))){b}}\right)}}},

kde a a b se rovnají hlavní a vedlejší poloosy sféroidu.

Kulovitost některých objektů

název	Hlasitost	Plocha povrchu	Kulovitost
Platonická tělesa
Čtyřstěn	${\frac {\sqrt {2}}{12}}\,s^{3}$	${\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{6{\sqrt {3))))\right)^{\frac {1}{3}}\cca 0,671$
Kostka (šestistěn)	${\displaystyle \,s^{3))$	$6\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{\frac {1}{3}}\cca 0,806$
Osmistěn	${\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}\,s^{3}$	$2{\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{3{\sqrt {3))))\right)^{\frac {1}{3))\cca 0,846$
dvanáctistěn	${\frac {1}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}$	$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\left(15+7{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{12\left(25+10{\sqrt {5}}\right )^{\frac {3}{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}\cca 0,910$
dvacetistěn	${\frac {5}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}$	$5{\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\left(3+{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{60{\sqrt {3}}}\right)^{\frac {1}{3}}\cca 0,939$
Tělesa s osovou symetrií
Kužel $(h=2{\sqrt {2}}r)$	${\frac {1}{3}}\pi \,r^{2}h$ $={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\pi \,r^{3}$	$\pi \,r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2))})$ $=4\pi \,r^{2}$	$\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{3}}\cca 0,794$
polokoule	${\frac {2}{3}}\pi \,r^{3}$	${\displaystyle 3\pi \,r^{2))$	$\left({\frac {16}{27}}\right)^{\frac {1}{3}}\cca 0,840$
Válec $(h=2\,r)$	${\displaystyle \pi r^{2}h=2\pi \,r^{3))$	${\displaystyle 2\pi r(r+h)=6\pi \,r^{2))$	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}\cca 0,874$
Thor $(R=r)$	$2\pi ^{2}Rr^{2}=2\pi ^{2}\,r^{3}$	$4\pi ^{2}Rr=4\pi ^{2}\,r^{2}$	$\left({\frac {9}{4\pi }}\right)^{\frac {1}{3}}\cca 0,894$
Koule	${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$	${\displaystyle 4\pi \,r^{2))$	$1\,$

Viz také

Izoperimetrický poměr

Poznámky

↑ Wadell, Hakon. Objem, tvar a kulatost částic křemene // Journal of Geology : deník. - 1935. - Sv. 43 , č. 3 . - S. 250-280 . - doi : 10.1086/624298 .