Pevný úhel

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. prosince 2019; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Prostorový úhel je část prostoru, která je sjednocením všech paprsků vycházejících z daného bodu ( vrcholu úhlu) a protínajících nějakou plochu (která se nazývá plocha, která svírá daný prostorový úhel). Konkrétními případy prostorového úhlu jsou trojstěnné a mnohostěnné úhly . Hranicí prostorového úhlu je nějaká kuželová plocha . Prostorový úhel se obvykle označuje písmenem Ω .

Prostorový úhel se měří jako poměr plochy části koule se středem ve vrcholu úhlu, který je oříznut tímto prostorovým úhlem, ke druhé mocnině poloměru koule:

\Omega \,=\,{S \over R^{2}}.

Prostorové úhly se měří abstraktními (bezrozměrnými) veličinami. Jednotkou SI prostorového úhlu je steradián , který se rovná prostorovému úhlu, který vyřízne plochu o ploše r 2 z koule o poloměru r . Kompletní koule tvoří prostorový úhel rovný 4π steradiánům ( plný prostorový úhel ) pro vrchol umístěný uvnitř koule, specificky pro střed koule; stejný je prostorový úhel, pod kterým je viditelná jakákoli uzavřená plocha z bodu, který je touto plochou zcela uzavřen, ale do ní nepatří. Kromě steradiánů lze prostorový úhel měřit ve čtverečních stupních, čtverečních minutách a čtverečních sekundách, stejně jako ve zlomcích plného prostorového úhlu.

Prostorový úhel má nulový fyzický rozměr .

Dvojitý prostorový úhel k danému prostorovému úhlu Ω je definován jako úhel sestávající z paprsků tvořících neostrý úhel s jakýmkoli paprskem úhlu Ω .

Koeficienty pro převod jednotek prostorového úhlu.

$\Omega$	Steradián	sq stupeň	sq minuta	sq druhý	plný úhel
1 steradián =	jeden	(180/π)² ≈ ≈ 3282,806 sq. stupně	(180×60/π)² ≈ ≈ 1,1818103⋅10 7 sq. minut	(180×60×60/π)² ≈ ≈ 4,254517⋅10 10 sq. sekundy	1/4π ≈ ≈ 0,07957747 plný úhel
1 čtvereční stupeň =	(π/180)² ≈ ≈ 3,0461742⋅10 −4 steradiány	jeden	60² = = 3600 čtverečních minut	(60×60)² = = 12 960 000 čtverečních sekundy	π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068⋅10 −5 plný úhel
1 čtvereční minuta =	(π/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595⋅10 −8 steradiánů	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10 −4 sq. stupně	jeden	60² = = 3600 čtverečních sekundy	π/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335⋅10 −9 plný úhel
1 čtvereční druhý =	(π/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305⋅10 −11 steradiánů	1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938⋅10 −8 sq. stupně	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10 −4 sq. minut	jeden	π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315⋅10 −12 plný úhel
plný úhel =	4π ≈ ≈ 12,5663706 steradiánů	(2×180)²/π ≈ ≈ 41252,96125 sq. stupně	(2×180×60)²/π ≈ ≈ 1,48511066⋅10 8 sq. minut	(2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5,34638378⋅10 11 sq. sekundy	jeden

Výpočet prostorových úhlů

Pro libovolnou smršťující se plochu S je prostorový úhel Ω , pod kterým je vidět z počátku, roven

\Omega =\int \limits _{S}d\Omega =\iint \limits _{S}\sin \vartheta \,d\varphi \,d\vartheta =\int \limits _{S}{\frac { ({\mathbf {r}}/r)\cdot {\mathbf {n}}dS}{r^{2}}},

kde jsou sférické souřadnice povrchového prvku, je jeho vektor poloměru , je jednotkový vektor kolmý k $r,\vartheta ,\varphi$ $ds,$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {n}$ $dS.$

Vlastnosti prostorových úhlů

Plný prostorový úhel (plná koule) je 4 π steradiány.
Součet všech prostorových úhlů duálních k vnitřním prostorovým úhlům konvexního mnohostěnu se rovná plnému úhlu.

Hodnoty některých prostorových úhlů

Trojúhelník s vrcholovými souřadnicemi , , je viditelný z počátku v prostorovém úhlu ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\mathbf {r}}_{3}$

\Omega =2\,{\mathrm {arctg}}\,{\frac {({\mathbf {r}}_{1}{\mathbf {r}}_{2}{\mathbf {r}}_ {3})}{r_{1}r_{2}r_{3}+({\mathbf {r}}_{1}\cdot {\mathbf {r}}_{2})r_{3}+ ({\mathbf {r}}_{2}\cdot {\mathbf {r}}_{3})r_{1}+({\mathbf {r}}_{3}\cdot {\mathbf {r }} }}_{1})r_{2}}},

kde je smíšený součin těchto vektorů, jsou skalární součiny odpovídajících vektorů, tučné písmo označuje vektory a normální typ označuje jejich délky. Pomocí tohoto vzorce lze vypočítat prostorové úhly sevřené libovolnými polygony se známými souřadnicemi vrcholů (k tomu stačí rozdělit mnohoúhelník na neprotínající se trojúhelníky).

({\mathbf {r}}_{1}{\mathbf {r}}_{2}{\mathbf {r}}_{3})

({\mathbf {r}}_{i}\cdot {\mathbf {r}}_{j})

Prostorový úhel na vrcholu pravého kruhového kužele s úhlem rozevření α je Pokud je znám poloměr základny a výška kužele, pak Když je úhel rozevření kužele malý, (úhel je vyjádřen v radiánech) , nebo (úhel je vyjádřen ve stupních). Prostorový úhel, pod kterým jsou Měsíc a Slunce viditelné ze Země (jejich úhlový průměr je přibližně roven 0,5 °), je tedy asi 6⋅10 −5 steradiánů, neboli ≈0,0005 % plochy nebeské sféry . (tedy celkový prostorový úhel) . $\Omega =2\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right).$ $R$ $H$ $\Omega =2\pi \left(1-{\frac {H}{\sqrt {R^{2}+H^{2))))\vpravo).$ $\Omega \approx {\frac {\pi \alpha ^{2}}{4}}$ $\alpha$ $\Omega \approx 0{,}000239\alpha ^{2}$ $\alpha$

Prostorový úhel dihedrálního úhlu ve steradiánech je roven dvojnásobku hodnoty dihedrálního úhlu v radiánech.

Prostorový úhel trojbokého úhlu je vyjádřen Lhuillierovou větou v podmínkách jeho plochých úhlů ve vrcholu, jako: $\theta _{a},\theta _{b},\theta _{c}$

\Omega =4\,\operatorname {arctg}{\sqrt {\operatorname {tg}\left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg}\left({ \frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\název operátora {tg}\left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}} {2}}\right)\operatorname {tg}\left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right))),

kde je semiperimetr.

\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}

Z hlediska dihedrálních úhlů je prostorový úhel vyjádřen jako:

\alpha ,\beta ,\gama

\Omega =\alpha +\beta +\gamma -\pi .

Prostorový úhel ve vrcholu krychle (nebo jakéhokoli jiného kvádru ) se rovná plnému prostorovému úhlu neboli steradiánu. ${\frac {1}{8))$ ${\frac {\pi }{2))$

Prostorový úhel, pod kterým je plocha pravidelného N -hedronu viditelná z jeho středu, se rovná plnému prostorovému úhlu neboli steradiánu. ${\frac {1}{N}}$ ${\frac {4\pi }{N}}$

Prostorový úhel, pod kterým je kružnice o poloměru R viděna z libovolného bodu v prostoru (tj. prostorový úhel ve vrcholu libovolného kruhového kužele, nemusí být nutně přímý), se vypočítá pomocí úplných eliptických integrálů 1. a 3. druh [1] :

\Omega =2\pi +{\frac {2H}{L}}\left({\frac {rR}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)- K(k)\vpravo)

r\leq R,

\Omega ={\frac {2H}{L}}\left({\frac {rR}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)-K(k) \že jo)

r>R,

kde a jsou úplné normální eliptické Legendreovy integrály 1. a 3. druhu;

K(k)

\Pi (\alpha ^{2},k)

r

je vzdálenost od středu základny kužele k průmětu vrcholu kužele na rovinu základny;

H

je výška kužele;

{\displaystyle L={\sqrt {H^{2}+(r+R)^{2))))

je délka maximální tvořící přímky kužele;

k={\frac {\sqrt {4rR}}{L));

\alpha ={\frac {\sqrt {4rR}}{r+R}}.

Literatura

Hopf H. Selected Chapters of Geometry // přednáška ETH Zürich, pp. 1-2, 1940.
Van Oosterom A., Strackee J. Solid Angle of a Plane Triangle // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. - 1983. - Sv. 30. - S. 125-126. — ISSN 0018-9294 . - doi : 10.1109/TBME.1983.325207 . — PMID 6832789 .
Weisstein EW Solid Angle . Z MathWorld – webový zdroj Wolfram.
Gardner RP, Verghese K. Na prostorovém úhlu sevřeném kruhovým kotoučem // Nuclear Instruments and Methods. - 1971. - Sv. 93. - S. 163-167. - doi : 10.1016/0029-554X(71)90155-8 . - .

Viz také

Poznámky

↑ Paxton F. Solid Angle Calculation for a Circular Disk // Review of Scientific Instruments. - 1959. - Duben ( roč. 30 , č. 4 ). - str. 254-258 . - doi : 10.1063/1.1716590 . - . Archivováno z originálu 7. srpna 2017.