Tenzor stresu

Tenzor napětí (někdy Cauchyho tenzor napětí , tenzor napětí ) je tenzor druhé řady, který popisuje mechanická napětí v libovolném místě zatěžovaného tělesa, která v tomto místě vznikají při jeho (tělesu) malých deformacích. V případě objemového tělesa se tenzor často zapisuje jako matice 3×3:

{\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{( \mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\začátek {matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _ {31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{ xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _ {zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _ {yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]

a v případě dvourozměrného tělesa (viz příklad níže) s maticí 2×2:

{\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{( \mathbf {e} _{2})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _ {21}&\sigma _{22}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}\\\sigma _ {yx}&\sigma _{yy}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _ {yx}&\sigma _{y}\\\end{matrix}}\right]

kde je vektor mechanického napětí působící na povrch . ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(e_{n)))))$ $e_{n}$

V případě maticového zápisu (v kartézském souřadnicovém systému ) veličiny (složky tenzoru napětí) popisují napětí, která těleso v určitém daném bodě pociťuje. V tomto bodě jsou nakresleny spekulativní roviny s normálami , , .... Normální složky sil působících na tyto roviny jsou zapsány na hlavní diagonále , , ..., a ve zbývajících polohách jsou tečné složky , , . .. vektorů napětí v těchto rovinách. $\sigma_{ij}$ $\color {Červená}e_{1}$ $\color {Červená}e_{2}$ $\sigma_{11}$ $\sigma_{22}$ ${\displaystyle \tau _{yx))$ $\tau_{xy}$

V případě velkých deformací (konečné deformace) je třeba použít přístupy jako Piola-Kirchhoffův tenzor napětí , Biotův tenzor nebo Kirchhoffův tenzor napětí .

Fyzikální význam tenzoru napětí jako příklad ve dvourozměrném případě

Nejjednodušší ilustrací, která umožňuje pochopit fyzikální význam tenzoru napětí, je pravděpodobně neuvažovat případ napětí v nějakém objemovém tělese, ale naopak uvažovat napětí v plochém dvourozměrném tělese. Za tímto účelem zvažte namáhání kusu látky při vnějším zatížení (viz obr. A ).

Obrázek ukazuje obdélníkový kus látky pod vnějším zatížením, který je po obvodu obdélníku znázorněn černými šipkami. V tomto případě může být zátěží natahování rukama v různých směrech nebo natahování látky na nějaký složitý tvar.

Intuitivně je jasné, že díky tvaru, orientaci molekul, atomovým vrstvám a různému tkaní vláken (na obr. A je umístění vláken schematicky znázorněno jemnou šedou mřížkou) v různých místech tkaniny , napětí bude jiné: někde budou oblasti, které jsou vystaveny vertikálnímu natahování , a v jiných oblastech budou vlákna vystavena smykovému napětí .

Každý bod na povrchu kusu látky má svou vlastní jedinečnou hodnotu napětí. To znamená, že každý bod tkaniny odpovídá svému vlastnímu matematickému objektu - tenzoru druhé řady. $\mathbf {T}$ $(x_{0}, y_{0})$ $\mathbf {T}$

Abyste pochopili, jak tenzor ukazuje stav napětí v kterémkoli bodě látky, můžete v tomto bodě udělat malý řez a sledovat, kterým směrem se budou tyto řezy rozcházet. Takže na Obr. A udělali jsme dva řezy na různých místech látky: směr jednoho řezu je znázorněn červenou tečkovanou čarou, směr druhého je znázorněn modrou tečkovanou čarou. Pro matematický popis směru těchto řezů se používá normálový vektor (vektor kolmý k rovině řezu). Pro řez je tedy normálový vektor červený a směřuje kolmo k rovině řezu, u řezu je situace podobná. Směr růstu trhliny v tkáni je označen fialovými vektory . $\mathbf {T}$ $\color {red}c$ $\color {blue}c$ $\color {red}c$ $\color {red}{\vec {c}}$ $\color {blue}c$ $\color {Červená Violet}{\vec {t))$

K předpovědi, kde se řez vyvine, se používá pouze tenzor napětí. Matematicky by tato předpověď vypadala takto:

Definujte "funkci tenzoru" , jejíž argumenty jsou souřadnice bodů uvnitř tělesa a jejíž hodnotou je tenzor popisující stav napětí v daném bodě tělesa. $f(x,y)=\mathbf {T_{x,y)) ,$
Vyberte například bod v tělese a získejte z něj tenzor, který popisuje stav napětí v bodě $(x_{0},y_{0}),$ $f(x,y)$ $\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} .$
Určete směr roviny, ve které bude těleso řezáno. $\color {red}{\vec {c}}$
Vynásobte směr řezu v bodě tenzorem napětí v daném bodě , který v matematickém zápisu vypadá takto $\color {red}{\vec {c}}$ $(x_{0}, y_{0})$ $\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}}$ ${\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} \color {red}{\vec {c}}}=\color {ČervenáViolet}{\vec {t}}.$
Vektor a ukáže, kde se bude řez v bodě rozšiřovat . $\color {Červená Violet}{\vec {t))$ $\color {red}{\vec {c}}$ $(x_{0}, y_{0})$

Řezy a jsou vektory a napětí v bodě je tenzor. $\color {red}{\vec {c}}$ $\color {modrá}{\vec {c}}$ $\mathbf {T}$

Mělo by být zřejmé, že vícesměrné řezy provedené ve stejném bodě na těle budou mít za následek odlišnou reakci tkáně. Tento jev je znázorněn na Obr. B , kde k růstu ruptury tkáně dochází v různých směrech as různou intenzitou , v reakci na různé směry počátečních řezů a provedených ve stejném bodě. $\color {Červená Violet}{\vec {t))$ $||{\color {Červená Violet}{\vec {t))}||$ $\color {red}{\vec {c}}$ ${\vec {c}}$

Právě pro popis takto složitého chování se používají tenzory, které v tomto případě slouží jako vektorové funkce definované v každém bodě kousku tkáně, které dávají všechny možné směry řezů do souladu se všemi možnými směry dalšího prasknutí tkáně. $f_{x_{0},y_{0}}({\vec {c}})=\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} {\vec {c}}={ \vec{t}}$ $(x_{0}, y_{0})$ ${\vec {c}}$ ${\vec {t}}$

Odvození tenzorových komponent

Složky tenzoru napětí v kartézském souřadnicovém systému (tj. ) jsou zavedeny následovně. Infinitezimální objem tělesa (spojité médium) je uvažován ve formě pravoúhlého rovnoběžnostěnu, jehož plochy jsou kolmé na souřadnicové osy a mají plochy . Povrchové síly působí na každou stranu kvádru . Označíme-li průměty těchto sil na ose jako , pak složky tenzoru napětí jsou poměrem průmětů síly k ploše čela, na kterou tato síla působí: $\sigma_{ij}$ $Ox_i$ $Oxyz$ $dS_{i}$ $dS_{i}$ $dF_{i}$ $vůl_{j}$ $dF_{ij}$

\sigma_{ij} = \frac{ d F_{ij}}{dS_{i}}

Není zde žádný souhrn podle indexu . Složky , , , označované také jako , jsou normálová napětí , představují poměr průmětu síly na normálu k ploše uvažované plochy : $i$ $\sigma_{11}$ $\sigma_{22}$ $\sigma_{33}$ $\sigma_{xx}$ $\sigma_{yy}$ $\sigma_{zz}$ $dF_{i}$ $dS_{i}$

\sigma_{11} = \frac{ d F_{11}}{dS_{1}}

atd.

Složky , , , označované také jako , jsou tangenciální napětí , představují poměr průmětu síly na tečné směry k ploše uvažované plochy : $\sigma_{12}$ $\sigma_{23}$ $\sigma_{31}$ $\tau_{xy}$ $\tau_{yz}$ $\tau_{zx}$ $dF_{i}$ $dS_{i}$

\sigma_{12} = \frac{ d F_{12}}{dS_{1}}

atd.

Při absenci vlastního momentu hybnosti spojitého prostředí, stejně jako objemových a povrchových dvojic, je tenzor napětí symetrický (tzv. zákon párování smykových napětí), což je důsledek rovnice rovnováhy momentu hybnosti . Zejména tenzor napětí je symetrický v klasické teorii pružnosti a v hydrodynamice ideálních a lineárně viskózních tekutin.

Tenzor napětí v relativistické fyzice

Z hlediska teorie relativity jsou komponenty tenzoru napětí devět prostorových komponent tenzoru energie-hybnosti .

Tenzor napětí v klasické elektrodynamice

V klasické elektrodynamice má tenzor napětí elektromagnetického pole ( Maxwellův tenzor napětí [1] , Maxwellův tenzor napětí [2] ) v Mezinárodní soustavě jednotek (SI) tvar:

T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}W,

kde je hustota energie elektromagnetického pole. $W$

Viz také

Poznámky

↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. - M .: Nauka , 1988. - S. 115. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Stepanovsky Yu.P. Maxwell tenzor napětí // Fyzikální encyklopedie : [v 5 svazcích] / Kap. vyd. A. M. Prochorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1992. - T. 3: Magnetoplasmic - Poyntingova věta. - S. 32-33. — 672 s. - 48 000 výtisků. — ISBN 5-85270-019-3 .

Literatura

Sedov L.I. Mechanika kontinua. Svazek 1. M.: Nauka, 1970. 492 s.
Truesdell K. Počáteční kurz racionální mechaniky kontinua. M.: Nauka, 1975. 592 s.
Dimitrienko Yu. I. Nelineární mechanika kontinua. Moskva: Fizmatlit, 2010.