Dirichletova jednotková věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. května 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Dirichletův jednotkový teorém je teorém v algebraické teorii čísel popisující hodnost podskupiny invertibilních prvků (také nazývaných jednotky ) kruhu algebraických celých čísel číselného pole . ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$

Formulace

Nechť je číselné pole (to je konečné rozšíření ) a nechť je jeho kruh celých čísel. Potom se hodnost skupiny invertibilních prvků rovná , kde je počet různých vložení v oboru reálných čísel a je počet dvojic komplexně sdružených různých vložení , která nejsou čistě reálná. $K$ $\mathbb {Q}$ ${\mathcal {O}}_{K}$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $d=r+s-1$ $r$ $K$ $\mathbb {R}$ $s$ $\mathbb {C}$

Poznámky

Jinými slovy, v prstenci stupně jsou jednotky tak, že každá jednotka je jednoznačně reprezentována jako ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$ $n=r+2s$ $\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{d},d=r+s-1$ $\varepsilon \in {\mathcal {O}}_{K}$ $\varepsilon =\zeta \varepsilon _{1}^{a_{1}},...,\varepsilon _{d}^{a_{d}},$

kde jsou celá čísla a je nějaký kořen z 1 obsažený v

{\displaystyle a_{1},...,a_{d))

\zeta

{\mathcal {O}}_{K}

Jednotky, jejichž existence je založena Dirichletovou větou, se nazývají základní jednotky kruhu . ${\displaystyle \varepsilon _{1},\tečky ,\varepsilon _{d))$ ${\mathcal {O}}_{K}$

Jestliže , kde je kořen ireducibilního polynomu s kořeny , pak vložení je skutečné tehdy a jen tehdy , když je skutečným kořenem rovnice . $K=\mathbb {Q} (\theta )$ $\theta$ $f(x)$ $\theta _{1},...,\theta _{n}$ $\sigma _{i}:K=\mathbb {Q} (\theta )\to \mathbb {Q} (\theta _{i})\subset \mathbb {C}$ $\theta _{i}$ $f(x)=0$

Schéma důkazu

Podle předpokladu existují skutečné izomorfismy a komplexní izomorfismy . Pro důkaz jsou prvky pole zobrazeny ve dvou prostorech: lineární a logaritmické . $r$ ${\displaystyle \sigma _{1},...,\sigma _{r))$ $2s$ $\sigma _{r+1},{\bar {\sigma }}_{r+1},...,\sigma _{r+s},{\bar {\sigma }}_{ r+s}$ $L$ $A$

$L$ - prostor řádků formuláře , kde s komponentovým sčítáním a násobením. Definujme jako , vkládání je injektivní . Obraz pole je určitá diskrétní mřížka - soubor prvků formuláře , kde , a - nějaký základ mřížky. $(x_{1},...,x_{r},x_{r+1},...,x_{r+s})$ $x_{1},...,x_{r}\in \mathbb {R} ,x_{r+1},...,x_{r+s}\in \mathbb {C}$ $x:K\to L$ $x(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha ),...,\sigma _{r}(\alpha ),\sigma _{r+1}(\alpha ),. ..,\sigma _{r+s}(\alpha ))$ $L$ $K$ ${\displaystyle a_{1}e_{1}+...+a_{n}e_{n))$ $a_{j}\in \mathbb {Z}$ $e_{i}$

Prostor je uspořádán takto: , , , . - Převádí násobení na sčítání. Pokud je to norma , pak . $A$ $l:L\to A$ $l(x)={\bar {\lambda }}=(\lambda _{1},...,\lambda _{s+r})$ $l_{k}(x)=\ln |x_{k}|,k=1,...,r$ $l_{r+k}(x)=\ln |x_{r+k}|^{2},k=1,...,s$ $l(xy)=l(x)+l(y)$ $N(\alpha )$ $\alpha$ $\ln N(\alpha )=\sum \limits _{k=1}^{r+s}l_{k}(x(\alpha ))$

Dále je uvažována skupina jednotek (vratných prvků) pole . Množina je skupina násobením. Pokud tedy , tzn. množina je omezená, což znamená, že je konečná, což znamená, že se skládá z kořenů od 1 a je podgrupou . Jestliže je libovolná jednotka, pak , , . Tato rovnice definuje nadrovinu dimenze . Obraz je mřížka v , protože je to skupina přidáním a je diskrétní jako spojitý obraz diskrétní mřížky . $E$ $K$ ${\displaystyle W=\{\alpha \in K:l(\alpha )=0\))$ $l(\alpha )=0$ $(\forall k)|x_{k}(\alpha )|=|\sigma _{k}(\alpha )|=1$ $x(W)$ $W$ $E$ $\varepsilon$ $N(\varepsilon )=1$ $\ln |N(\varepsilon )|=0$ $\sum \limits _{k=1}^{r+s}l_{k}(\alpha )=0$ $\mathcal{L}$ $r+s-1$ $l(x(E))$ $A$ $l(x(E))$ $x(E)$

Jakákoli jednotka , je tedy odmocninou z 1, . Zbývá dokázat, že hodnost je přesně , nebo že je to úplná mřížka v . Mříž v prostoru je úplná právě tehdy, když v prostoru existuje ohraničená množina , jejíž posuny o všechny vektory mřížky zcela vyplňují celý prostor. Důkaz využívá Minkowského lemma konvexního těla . Set in je brán jako tělo lemmatu . Jeho objem je . Použití Minkowského lemmatu dává následující důsledek: $\varepsilon =\zeta \varepsilon _{1}^{a_{1}}...\varepsilon _{d}^{a_{d}}$ $\zeta$ $d\leqslant r+s-1$ $E$ $r+s-1$ $l(x(E))$ $\mathcal{L}$ $X:|x_{k}|<c_{k},k=1,...,s,|x_{r+k}|^{2}<c_{r+k},k=1 ,...,s$ $L$ $2^{s}\pi ^{t}c_{1}\cdot ...\cdot c_{r+s}$

Pokud je objem hlavního rovnoběžnostěnu překlenutý základními vektory mřížky stejný a čísla jsou taková, že , pak je v mřížce nenulový vektor takový, že . $x({\mathcal {O}}_{K})$ $\Delta$ $c_{k}>0$ $c_{1}\cdot ...\cdot c_{r+s}>(4/\pi )^{t}\Delta$ $x({\mathcal {O}}_{K})$ $X$ $|x_{k}|<c_{k},k=1,...,r,|x_{r+k}|^{2}<c_{r+k},k=1,. ..,s$

Pro všechny , máme . Označte - nadrovinu rovnoběžnou s . Nechť - být libovolný, a . Je- li - dostatečně velké, pak , a tudíž podle výše uvedeného důsledku z Minkowského lemmatu existuje takové, že , tedy , , . $\alpha :N(\alpha )<Q,\alpha \neq 0$ $0\leqslant \lambda _{1}+...+\lambda _{r+s}<Q$ ${\mathcal {I}}=\{{\bar {\lambda }}:\lambda _{1}+...+\lambda _{r+s}=\ln Q\}$ $\mathcal{L}$ ${\bar {\lambda ))^{0}\in {\mathcal {I))$ ${\displaystyle c_{k}:\lambda _{k}^{0}=\ln c_{k))$ $Q>(4/\pi )^{t}\Delta$ $c_{1}\cdot ...\cdot c_{k}>(4/\pi )^{t}\Delta$ $\alpha \in {\mathcal {O}}_{K},\alpha \neq 0$ $|\sigma _{k}(\alpha )|<c_{k},k=1,...,r,|\sigma _{r+k}(\alpha )|^{2}< c_{r+k},k=1,...,s$ $N(\alpha )<Q$ $l_{k}(\alpha )<\lambda _{k}^{0},k=1,...,r+s$

Označme pro libovolnou výše uvedenou množinu jako . Je jasné, že všechny množiny jsou ohraničené. , tj. se získá posunutím o vektor $\alpha :N(\alpha )<Q$ $\{{\bar {\lambda }}:\lambda _{k}>l_{k}(\alpha )\}$ $Y_{\alpha }$ $Y_{\alpha }$ $Y_{\alpha \varepsilon }=Y_{\alpha }+l(\varepsilon )$ ${\displaystyle Y_{\alpha \varepsilon ))$ $Y_{\alpha }$ $l(\varepsilon )$

V existuje pouze konečný počet párově neasociovaných čísel , jejichž normy jsou menší než v absolutní hodnotě , tedy pokud , pak pro nějakou jednotku . Protože pokrývají všechny , a , znamená to , že posuny ohraničené množiny všemi vektory pokryjí všechny . To znamená, že posuny omezené množiny všemi vektory pokryjí vše , což větu dokazuje. ${\mathcal {O}}_{K}$ $\alpha _{1},...,\alpha _{N}$ $Q$ $N(\alpha )<Q$ $\alpha =\alpha _{i}\varepsilon$ $\varepsilon$ $Y_{\alpha }$ $\mathcal{I}$ $Y_{\alpha }=Y_{\alpha _{i}}+l(\varepsilon )$ $Y=Y_{\alpha _{1}}\cup ...\cup Y_{\alpha _{N}}$ $l(\varepsilon )$ $\mathcal{I}$ $U=Y-{\frac {\ln Q}{r+s}}(1,1,...,1)$ $l(\varepsilon )$ $\mathcal{L}$

Variace a zobecnění

Protože rozšíření stupně n splňuje , pak , a rovnost platí právě tehdy, když všechna vložení do čistě reálných. $r+2s=n$ $d\leqslant n-1$ $K$ $\mathbb {C}$

Skupina jednotek pole je vyčerpána kořeny od 1 právě tehdy, když , tzn. pro a pro je pomyslné kvadratické rozšíření. Ve všech ostatních případech je vždy alespoň jedna základní jednotka. $r+s=1$ $K=\mathbb {Q}$ $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-d)))$

Existence netriviálních celých řešení Pellovy rovnice je odvozena z této věty aplikované na kvadratické rozšíření . $x^{2}-my^{2}=1$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {m)))$ $\mathbb {Q}$

Případ skupiny invertibilních prvků maximální úrovně souvisí [1] s vícerozměrnými spojitými zlomky .

Literatura

↑ V. I. Arnold. Zřetězené zlomky . - M .: MTSNMO , 2001. - S. 35. - ISBN 5-94057-014-3 . Archivováno 8. července 2011 na Wayback Machine

Ireland K., Rosen M. Klasický úvod do moderní teorie čísel. - M .: Mir, 1987. - S. 237.
Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Teorie čísel . - M . : Nauka, hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, 1985. - S. 131 .