Meneláův teorém

Menelaova věta nebo věta o transversals nebo věta o úplném čtyřúhelníku je klasickým teorémem afinní geometrie .

Formulace

Pokud body a leží příslušně na stranách a trojúhelníku nebo na jejich prodloužení [1] , pak jsou kolineární právě tehdy, když $A',B'$ $C'$ $BC, CA$ $AB$ $\trojúhelník ABC$

{\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.

kde , a označují poměry směrovaných segmentů . ${\frac {AB'}{B'C}}$ ${\frac {CA'}{A'B}}$ ${\frac {BC'}{C'A}}$

Důkaz

Vedeme bodem přímku rovnoběžnou s přímkou a označme průsečíkem této přímky s přímkou . Vzhledem k tomu, že trojúhelníky a jsou podobné (ve dvou úhlech), pak $C$ $AB$ $K$ $A'C'$ $\trojúhelník AC'B'$ $\trojúhelník CKB'$

{\frac {|AC'|}{|CK|}}={\frac {|B'A|}{|B'C|}}

Vzhledem k tomu, trojúhelníky jsou také podobné , a tak $\triangle BC'A'$ $\trojúhelník CKA'$

{\frac {|CK|}{|C'B|}}={\frac {|A'C|}{|BA'|}}

Kromě , dostáváme $CK$

{\frac {|AC'|}{|C'B|}}\cdot {\frac {|BA'|}{|A'C|}}\cdot {\frac {|CB'|}{|B 'A|}}=1

Zbývá poznamenat, že jsou možná dvě uspořádání bodů a : buď dva z nich leží na odpovídajících stranách trojúhelníku a třetí leží na prodloužení, nebo všechny tři leží na prodlouženích odpovídajících stran. Pro poměry směrovaných segmentů tedy máme $A',B'$ $C'$

{\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.

Poznámky

Zejména vztah pro délky segmentů vyplývá z věty: ${\frac {|AB'|}{|B'C|}}\cdot {\frac {|CA'|}{|A'B|}}\cdot {\frac {|BC'|}{|C 'A|}}=1.$

Variace a zobecnění

Trigonometrický ekvivalent:

{\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \angle CBB'}{\sin \angle B'BA}}\cdot {\frac { \sin \angle ACC'}{\sin \angle C'CB}}=-1

, kde jsou všechny úhly orientovány .

Ve sférické geometrii , Menelaus teorém má formu

{\frac {\sin |AB'|}{\sin |B'C|}}\cdot {\frac {\sin |CA'|}{\sin |A'B|}}\cdot {\frac { \sin |BC'|}{\sin |C'A|}}=1.

V geometrii Lobachevského má Menelaova věta podobu

{\frac {\operatorname {sh}|AB'|}{\operatorname {sh}|B'C|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh}|CA'|}{\operatorname {sh}| A'B|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh}|BC'|}{\operatorname {sh}|C'A|}}=1.

Historie

Tato věta je dokázána ve třetí knize Sfér od Menelaa Alexandrijského (kolem roku 100 n. l.). Meneláos nejprve dokazuje větu pro rovinný případ a poté ji centrálním promítáním přenese do koule. Je možné, že plochý případ teorému byl řešen dříve v Euklidových nedochovaných porismech.

Sférický teorém Menelaa byl hlavním nástrojem, kterým byly řešeny různé aplikované problémy pozdně antické a středověké astronomie a geodézie. Věnuje se řadě děl nazvaných „Kniha postavy sekantu“, sestavených takovými matematiky středověkého Východu jako Sabit ibn Korra , an-Nasavi , al-Maghribi , as-Sijizi , as-Salar , Jabir ibn Aflah , Nasir ad-Din at- Tusi .

Italský matematik Giovanni Ceva v roce 1678 navrhl pro rovinný případ důkaz Menelaovy věty a související Cevovy věty na základě úvahy o těžišti soustavy tří bodových závaží. [2]

Aplikace

Lososova věta
Mnoho teorémů v projektivní geometrii , takový jako Pappus teorém a Desargues teorém , být dokázán opakovanými aplikacemi Menelaus teorému.

Viz také

Poznámky

↑ na samotných stranách mohou být přesně dva nebo žádné body
↑ G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milán, 1678

Odkazy

Balk M. B. , Boltyansky V. G. Geometrie hmoty. - M .: Science , 1987. - ( Knihovna "Quantum" )).
Efremov D. Nová geometrie trojúhelníku . - Oděsa, 1902. - 334 s. Archivováno 2. března 2005 na Wayback Machine
Efremov D. Nová geometrie trojúhelníku. Ed. 2. Edice: Fyzikální a matematické dědictví (reprint reprodukce edice). . - Moskva: Lenand", 2015. - 352 s. - ISBN 978-5-9710-2186-5 .
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nová setkání s geometrií. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Knihovna matematického kroužku).
Ponarin Ya. P. Elementární geometrie. Ve 2 svazcích - M . : MTSNMO , 2004. - S. 73-74. — ISBN 5-94057-170-0 .
Šátek, Micheli . K Ptolemaiově větě o trojúhelníku protnutém transverzálou // Historický přehled vzniku a vývoje geometrických metod . - M. , 1883. - T. 2 .
Sidoli N. Sektorová věta připisovaná Menelaovi // SCIAMVS. - 2006. - č. 7 . — s. 43–79 .