Minkowského věta o konvexním těle

Minkowského teorém o konvexním tělese je jedním z teorémů číselné geometrie , který sloužil jako základ pro rozdělení geometrie čísel do části teorie čísel . Formuloval Hermann Minkowski v roce 1896.

Formulace

Dovolit být uzavřené konvexní tělo , symetrické vzhledem k počátku souřadnic , -rozměrný euklidovský prostor , mající objem . Pak existuje celá tečka odlišná od . $S$ $Ó$ $n$ $\geqslant 2^{n}$ $S$ $Ó$

Důkaz

Níže je důkaz Minkowského věty pro konkrétní případ L = ℤ 2 . Dá se zobecnit na libovolné dimenze.

Zvažte mapování

f:S\to \mathbb {R} ^{2}\qquad (x,y)\mapsto (x{\bmod {2}},y{\bmod {2}})

Intuitivně toto mapování rozřeže tělo na čtverce 2x2, které jsou naskládány jeden na druhý. Je zřejmé, že oblast f ( S ) ≤4 . Pokud by zobrazení f bylo injektivní , pak by části S , které byly vyříznuty čtverci, do sebe zapadly, aniž by se překrývaly. Protože f zachovává místní oblasti fragmentů, tato vlastnost neprotínání by způsobila, že by mapa f area- zachovala celé S , takže oblast f ( S ) by byla stejná jako oblast S - číselně větší než 4. Pokud tomu tak není, pak f není injektivní , a tedy f ( p 1 ) = f ( p 2 ) pro nějakou dvojici bodů p 1 , p 2 ∈ S . Navíc z definice f víme, že p 2 = p 1 + (2 i , 2 j ) pro nějaké celé číslo i a j , kde alespoň jedno z nich je nenulové.

Potom, protože S je symetrický vzhledem k počátku, − p 1 je také zahrnuto v S . Protože S je konvexní, úsečka mezi − p 1 a p 2 leží zcela v S . Uprostřed této části

{\tfrac {1}{2}}\left(-p_{1}+p_{2}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(-p_{1}+p_ {1}+(2i,2j)\vpravo)=(i,j)

leží v S. ( i , j ) je celočíselný bod a není počátkem ( i a j nemohou být oba nula). Tím jsme našli požadovaný bod.

Variace a zobecnění

Zobecněním Minkowského věty na nekonvexní množiny je Blichfeldtova věta .
V roce 2007 Nikolaj Durov ukázal, že Minkowského věta může být vnímána jako varianta Riemann-Rochovy věty pro dokončené spektrum [1] $\mathbb {Z}$ .

Poznámky

↑ Nový přístup k Arakelově geometrii . Získáno 20. srpna 2014. Archivováno z originálu dne 26. března 2015. (neurčitý)