Fermat-Eulerova věta

Fermatova-Eulerova věta (jiná jména jsou Fermatova vánoční věta , věta o reprezentaci prvočísel jako součtu dvou čtverců ) zní [1] :

Jakékoli prvočíslo , kde je přirozené číslo , může být reprezentováno jako součet druhých mocnin dvou přirozených čísel. $p=4n+1$ $n$

Jinými slovy,

p\in \mathbb {P} ,p=4n+1,n\in \mathbb {N} \Rightarrow p=x^{2}+y^{2},

kde je prvočíslo. $p$

V zahraniční literatuře se toto tvrzení často nazývá Fermatova vánoční věta , jak vešlo ve známost z dopisu zaslaného Pierrem Fermatem 25. prosince 1640.

Příklady:

5=1^{2}+2^{2}

, , , , , .

13=2^{2}+3^{2}

17=1^{2}+4^{2}

29=2^{2}+5^{2}

37=1^{2}+6^{2}

41=4^{2}+5^{2}

Z tohoto prohlášení, za použití identity Brahmagupta , je odvozeno obecné prohlášení:

Přirozené číslo může být reprezentováno jako součet dvou druhých mocnin (celých čísel) tehdy a jen tehdy, když žádné prvočíslo tvaru není zahrnuto do jeho rozkladu na prvočinitele v liché míře. $4k+3$

Někdy je právě tato skutečnost myšlena Fermat-Eulerovou větou.

Historie

Toto tvrzení poprvé objevil Albert Girard v roce 1632 . Pierre Fermat oznámil ve svém dopise Mersennovi ( 1640 ), že tuto větu dokázal, ale neposkytl důkaz. O 20 let později Fermat v dopise Karkavymu (ze srpna 1659) naznačuje, že důkaz je založen na metodě nekonečného sestupu .

První publikovaný důkaz metodou nekonečného sestupu našel v letech 1742 až 1747 Leonhard Euler . Pozdější důkazy založené na jiných myšlenkách podali Joseph Lagrange , Carl Gauss , Hermann Minkowski , Jakobstahl a Don Zagier . Poslední je jednovětý důkaz [2] .

Důkazy

Jeden z nejkratších důkazů vynalezl německý matematik Don Zagir [3] :

Involuce konečné množiny definovaná jako ${\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}:x^{2}+4yz=p\))$

$(x,y,z)\rightarrow {\begin{cases}(x+2z,z,yxz),&x<yz\\(2y-x,y,x-y+z),&y-z <x<2y\\(x-2y,x-y+z,y),&x>2y\end{cases}}}$

má právě jeden pevný bod (který se rovná if , a jehož jedinečnost vyplývá z jednoduchosti ), takže obsahuje lichý počet prvků, což znamená, že involuce má také pevný bod. $(1,1,k)$ $p=4k+1$ $p$ $S$ $(x,y,z)\rightarrow (x,z,y)$

Existuje také důkaz prostřednictvím Wilsonova teorému , který vynalezl Axel Thue [4] .

Literatura

Bukhshtab A. A. Teorie čísel. - M .: Státní vzdělávací a pedagogické nakladatelství Ministerstva školství RSFSR , 1960. - 375 s.
Senderov V., Spivak A. Součty druhých mocnin a Gaussova celá čísla // Kvant, č. 3 (1999), s. 14—22.
Dickson LE Historie teorie čísel // Vol. II. — Ch. VI. Součet dvou čtverců.

Poznámky

↑ Senderov V., Spivak A. Součty čtverců a Gaussova celá čísla Archivováno 26. listopadu 2019 na Wayback Machine // Kvant Archived 11. února 2014 na Wayback Machine . - č. 3 (1999), s. 14-22.
↑ Důkaz jednou větou, že každé prvočíslo 4k+1 je součet dvou čtverců
↑ Shrnutí důkazu Dona Zagiera . Získáno 13. 5. 2011. Archivováno z originálu 4. 3. 2016. (neurčitý)
↑ Dvě Fermatovy věty . Získáno 17. února 2020. Archivováno z originálu dne 26. června 2019. (neurčitý)