Hadwigerova věta

Hadwigerův teorém charakterizuje spojitá ocenění na konvexních tělesech v euklidovském prostoru, která jsou invariantní při pohybu. Ověřeno Hugo Hadwigerem .

Úvod

Ocenění

Dovolit být třída všech neprázdných kompaktních konvexních množin v . Ocenění na je funkce taková, že rovnost $K^n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K^n$ $v:K^{n}\to \mathbb {R}$

v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)

platí pro každou takovou , ${\displaystyle S,T\in K^{n))$ $S\cup T\in K^{n}$

V čem

Ocenění se nazývá spojité , pokud je spojité s ohledem na Hausdorffovu metriku .
Říká se, že ohodnocení je pohybově invariantní, pokud pro jakýkoli pohyb φ a jakýkoli pohyb $S\in K^{n}$ $v(S)=v(\phi (S))$

Průměrná příčná míra

$k$ -tá průměrná příčná míra tělesa je definována jako průměrná -rozměrná plocha průmětů do -rozměrných rovin. $W_{k}(S)$ $S\in K^{n}$ $k$ $S$ $k$

Zejména,

$W_{n}(S)$ - objem , $S$
$W_{n-1}(S)$ je úměrná ploše . $S$
$W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)$

Formulace

Jakékoli spojité ohodnocení v na K n , invariantní pod pohyby, může být reprezentováno jako

v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}{\cdot }W_{j}(S).

Literatura

Semyon Alesker Úvod do teorie oceňování na konvexních množinách Videozáznamy přednášek, Letní matematická škola "Algebra a geometrie" 25.–31. července 2014 Jaroslavl
Hadwiger, H. Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. — Berlín: Springer, 1957.
Klain, D.A.; Rota, G.-C. Úvod do geometrické pravděpodobnosti (neopr.) . - Cambridge: Cambridge University Press , 1997. - ISBN 0-521-59362-X .
Chen, B. Zjednodušený elementární důkaz Hadwigerova objemového teorému // Geom . Dedicata: deník. - 2004. - Sv. 105 . - str. 107-120 . - doi : 10.1023/b:geom.0000024665.02286.46 .