Hellyho věta

Hellyho věta je klasickým výsledkem kombinatorické geometrie a konvexní analýzy . Věta dává podmínku pro rodinu konvexních množin, která zaručuje, že tato rodina má neprázdný průnik.

Formulace

Konečné rodiny

Pojďme to předstírat

X_{1},X_{2},\tečky ,X_{n}

je konečná rodina konvexních podmnožin euklidovského prostoru tak, že průsečík žádné z nich není prázdný. $\mathbb {R} ^{d}$ $d+1$

Pak je průsečík všech podmnožin z této rodiny neprázdný, tzn.

\bigcap _{j=1}^{n}X_{j}\neq \emptyset

. [jeden]

Nekonečné rodiny

U nekonečných rodin musíme navíc vyžadovat kompaktnost:

Nechť existuje libovolná rodina konvexních kompaktních podmnožin tak, že průsečík kterékoli z nich není prázdný. Pak je průsečík všech podmnožin z této rodiny neprázdný. $\{X_{\alpha }}\}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d))$ $d+1$

Důsledky

Youngova věta: Nechť existuje konečná množina bodů v -rozměrném euklidovském prostoru taková, že všechny body z mohou být pokryty jednotkovou koulí. Pak může být celá sada pokryta jednotkovou koulí. $S$ $d$ $\mathbb {R} ^{d}$ $d+1$ $S$ $S$
Youngův poloměr: Nechť je množina bodů v- rozměrném euklidovském prostoru , s průměrem . Pak existuje- dimenzionální uzavřená koule o poloměru taková, že . Pokud množina nepatří do žádné menší koule, pak obsahuje vrcholy - simplex s každou délkou hrany . [2] $X$ $d$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d))$ $\mathrm {diam} \,X\leqslant 2$ $d$ $B^{d}(r)$ $r={\sqrt {2d/(d+1)))$ $X\subset B^{d}(r)$ $X$ $X$ $d$ $2$
Kirschbrownova věta

Variace a zobecnění

Dovolit být Hilbertův prostor (ne nutně oddělitelný ) a být rodina uzavřených ohraničených konvexních podmnožin . Pokud je průsečík libovolné konečné podrodiny neprázdný, pak je také neprázdný. $H$ $X_{\alpha }$ $H$ $X_{\alpha }$ ${\displaystyle \cap _{\alpha }X_{\alpha ))$

Historie

Větu dokázal Eduard Helly v roce 1913, o čemž řekl Radonovi , publikoval ji až v roce 1923 [3] po publikacích Radona [4] a Königa [5] .

Viz také

Poznámky

↑ Shikin E. V. Lineární prostory a zobrazení. - M., Moskevská státní univerzita , 1987. - c. 177
↑ Shikin E. V. Lineární prostory a zobrazení. - M., Moskevská státní univerzita , 1987. - str. 293
↑ E. Helly Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten (nepřístupný odkaz) , - Jber. německy Matematika. Verinig. 32 (1923), 175-176.
↑ J. Radon Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten (nepřístupný odkaz) , - Math. Ann. 83 (1921), 113-115.
↑ D. König Über konvexe Körper, - Math. Z. 14 (1922), 208-220.

Literatura

Danzer L., Grünbaum B. , Klee W. Hellyho teorém a jeho aplikace. - M .: Mir, 1968. - 159 s.