Kirschbrownova věta o pokračování

Kirschbrownův teorém rozšíření (někdy nazývaný Valentinův teorém ) je teorém o existenci rozšíření Lipschitzovy funkce definované na podmnožině euklidovského prostoru na celý prostor.

Formulace

Nechal libovolnou podmnožinu Euclidean prostoru , pak libovolné krátké mapování může být rozšířeno na krátké mapování ; jinými slovy, existuje krátké mapování takové, že . $S$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f:S\to \mathbb {R} ^{m}$ ${\displaystyle {\bar {f)):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ ${\displaystyle {\bar {f)):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ ${\bar {f}}|_{S}=f$

Variace a zobecnění

Přirozeně zobecňuje na
- Mapování z podmnožiny Hilbertova prostoru do Hilbertova prostoru.
- Mapování z podmnožiny Lobačevského prostoru do Lobačevského prostoru stejné křivosti
Podobný výsledek pro zobrazení mezi sférami není pravdivý, ale věta platí pro
- Zobrazení z podmnožiny koule do polokoule se stejným zakřivením.
- Mapování z podmnožiny koule do koule se stejným zakřivením nemenšího rozměru.
Podobný výsledek pro Banachovy prostory je nesprávný.

Metrická geometrie

Zobecnění Kirschbrownovy věty na metrické prostory podali Lang a Schröder [1] [2]
Jakékoli krátké mapování definované na podmnožině libovolného metrického prostoru s hodnotami v injektivním prostoru umožňuje krátké rozšíření na celý prostor. To dává další zobecnění věty na metrické prostory. Mezi injektivní prostory patří skutečné řádkové a metrické stromy a také -mezery. $L^{\infty }$
Pro metrické prostory s vlastností zdvojení platí slabá verze Kirschbrownovy věty. Konkrétně, pokud je metrický prostor s vlastností zdvojení a je Banachovým prostorem, pak jakékoli mapování -Lipschitz se rozšiřuje na mapování -Lipschitz , kde konstanta závisí pouze na parametru ve vlastnosti zdvojování. [3] $X$ $A\podmnožina X$ $PROTI$ $L$ $A\to V$ $C\cdot L$ $X\to V$ $C$

Historie

Bylo to prokázáno v disertační práci Moizhese Kirshbrauna (obhájené v roce 1930) [4] . Později tento teorém vyvrátil Frederic Valentine [5] .

Viz také

Tietzeho věta o pokračování

Poznámky

↑ Lang, U.; Schroeder, V. Kirszbraunův teorém a metrické prostory omezené křivosti. Geom. Funct. Anální. 7 (1997), No. 3, 535-560.
↑ Alexander, Stephanie; Kapovič, Vitali; Petrunin, Anton Alexandrov se setkává s Kirszbraunem. Sborník z Geometry-topologické konference Gökova 2010, 88–109, Int. Press, Somerville, MA, 2011.
↑ 4.1.21 v Heinonen, Juha, et al. Sobolevovy prostory na metrických prostorech. sv. 27. Cambridge University Press, 2015.
↑ M. D. Kirszbraun. Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. fond. Math., (22): 77-108, 1934.
↑ FA Valentine, "O rozšíření vektorové funkce tak, aby byla zachována Lipschitzova podmínka," Bulletin of the American Mathematical Society, sv. 49, str. 100-108, 1943.