Hellinger-Toeplitzova věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. června 2014; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Hellinger-Toeplitzova věta je výsledkem funkcionální analýzy , která stanoví ohraničenost symetrického operátoru v Hilbertově prostoru .

Formulace

Nechť je Hilbertův prostor . Jestliže pro lineární operátor existuje lineární operátor , který splňuje podmínku , pak je operátor omezený . $H$ $A:\,H\to H$ $B:\,H\to H$ $(Ax,y)=(x,By)\;\forall x,y\in H$ $A$

Zejména jakýkoli symetrický operátor definovaný na celém prostoru je omezený, tedy lineární operátor, který splňuje podmínku . $(Ax,y)=(x,Ay)\;\forall x,y\in H$

Poznámky

Podstatnou podmínkou věty je podmínka určitosti operátoru na celém Hilbertově prostoru .

Důsledky

Jakýkoli symetrický operátor definovaný na celém Hilbertově prostoru je samoadjungovaný .
Samoadjungovaný neomezený operátor nemůže být definován na celém Hilbertově prostoru .