Stolzův teorém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 11. srpna 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Stolzův teorém je prohlášením matematické analýzy , v některých případech pomáhá najít limitu posloupnosti reálných čísel . Věta je pojmenována po rakouském matematikovi Otto Stolzovi , který publikoval její důkaz v roce 1885 [1] . Stolzův teorém je svou povahou diskrétní analogií L'Hôpitalova pravidla .

Formulace

Nechť a být dvě posloupnosti reálných čísel, navíc kladné, neomezené a přísně rostoucí (alespoň od nějakého členu). Pak pokud existuje limit $a_n$ $b_n$ $b_n$

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}}{b_{n}-b_{{n-1}}}}

pak je limit

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}

a tyto limity jsou stejné.

Důkaz

Níže je uveden důkaz podle Fikhtengolts [2] , další důkaz je uveden v knize Arkhipov, Sadovnichy a Chubarikov [3] .

Předpokládejme nejprve, že limita je rovna konečnému číslu , pak pro jakékoli dané existuje takové číslo , které pro bude probíhat: $L$ $\varepsilon >0$ $N>0$ $n>N$

L-{\frac {\varepsilon }{2}}<{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}}{b_{n}-b_{{n-1}}}}<L+ {\frac {\varepsilon }{2))

Takže pro všechny jsou všechny zlomky: $n>N$

{\frac {a_{{N+1}}-a_{N}}{b_{{N+1}}-b_{N}}},{\frac {a_{{N+2}}-a_{ {N+1}}}{b_{{N+2}}-b_{{N+1}}}},...,{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}} {b_{n}-b_{{n-1}}}}

leží mezi těmito hranicemi. Vzhledem k tomu, že jmenovatelé těchto zlomků jsou kladné (kvůli přísně rostoucí posloupnosti ), pak je podle vlastnosti mediantu mezi stejnými hranicemi také zlomek: $b_n$

{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}

jehož čitatel je součet čitatelů výše napsaných zlomků a jmenovatel je součet všech jmenovatelů. Takže na : $n>N$

\left|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}

Nyní zvažte následující identitu (ověřitelnou přímo):

{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L={\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}}+\left(1-{\frac { b_{N}}{b_{n}}}\right)\left({\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right)

odkud máme

\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|\leq \left|{\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}} \right|+\left|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right|

Druhý člen at se stává menším než , první člen také menší než , at , kde je nějaké dostatečně velké číslo, protože . Když vezmeme , pak budeme mít $n>N$ ${\frac {\varepsilon }{2))$ ${\frac {\varepsilon }{2))$ $n>M$ $M$ $b_{n}\to +\infty$ $M>N$ $n>M$

\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|<\varepsilon

což dokazuje naše tvrzení.

Případ nekonečné limity lze redukovat na konečný. Pro jistotu:

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}}{b_{n}-b_{{n-1}}}}=+ \infty

z toho vyplývá, že pro dostatečně velké : $n$

a_{n}-a_{{n-1}}>b_{n}-b_{{n-1}}

\lim \limits _{{n\to \infty }}a_{n}=+\infty

a sekvence se striktně zvyšuje (počínaje od určitého čísla). V tomto případě lze dokázanou část věty aplikovat na inverzní vztah : $a_n$ ${b_{n} \over a_{n}}$

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {b_ {n}-b_{{n-1}}}{a_{n}-a_{{n-1}}}}=0

z čehož plyne, že:

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty

Pokud je limit , pak musíte zvážit posloupnost . $-\infty$ $\{-a_{n}\}$

Důsledek

Jedním z důsledků Stolzova teorému je pravidelnost Ces'aro sumační metody . To znamená, že pokud posloupnost konverguje k číslu , pak posloupnost aritmetických průměrů konverguje ke stejnému číslu. $a_n$ $A$ ${\frac {a_{1}+\tečky +a_{n}}{n}}$

Poznámky

↑ Otto Stolz. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten (německy) . - Lipsko: Teubners, 1885. - S. 173-175.
↑ Fikhtengolts, 2003 .
↑ Arkhipov, Sadovnichy, Chubarikov, 1999 .

Literatura

Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. - M. : Fizmatlit, 2003. - T. 1. - S. 78-79.
Arkhipov G.I. , Sadovničij V.A. , Čubarikov V.N. Přednášky o matematické analýze / Ed. V. A. Sadovnichy. - M . : Vyšší škola , 1999. - S. 43-44. - ISBN 5-06-003596-4 .