Eulerova věta o trojúhelníku

Eulerův vzorec - věta o planimetrii , dává do souvislosti vzdálenost mezi středy kružnice vepsané a opsané a jejich poloměry.

Věta je pojmenována po Leonhardu Eulerovi .

Formulace

Vzdálenost mezi středy vepsané a opsané kružnice trojúhelníku lze určit podle vzorce $d$

d^{2}=R^{2}-2Rr.

kde je poloměr kružnice opsané, je poloměr kružnice vepsané. $R$ $r$

Poznámky

Výše uvedený vzorec lze přepsat následovně ${\frac {1}{Rd}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}}$ .

nebo

(Rr)^{2}=d^{2}+r^{2},

Věta implikuje tzv. Eulerovu nerovnost $R\geq 2r$ .
- Existuje silnější forma této nerovnosti [1] :p. 198 , konkrétně: ${\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a }{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a} {b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,$

kde jsou strany trojúhelníku.

a,b,c

Pro sférický trojúhelník může být poměr poloměru kružnice opsané k poloměru kružnice vepsané menší než 2. Navíc pro libovolné číslo mezi 1 a 2 existuje pravidelný sférický trojúhelník s poměrem poloměru opsaná kružnice k poloměru vepsané kružnice rovnému tomuto číslu.

Důkaz

Dovolit být středem circumcircle na trojúhelník , a být středem vepsané kružnice. Pokud paprsek protíná opsanou kružnici v bodě , pak je to střed oblouku . Nakreslíme paprsek a označíme jeho průsečík s kružnicí opsanou jako . Potom bude průměr opsané kružnice. Z bodu pustíme kolmici na Potom Eulerův vzorec zapíšeme v trochu jiné podobě $Ó$ $\Delta ABC$ $já$ $AI$ $L$ $L$ $před naším letopočtem$ $LO$ $M$ $LM$ $já$ $ID$ $AB.$ $ID=r.$

R^{2}-d^{2}=2Rr.

Můžete vidět, že vlevo je stupeň bodu vzhledem k opsané kružnici (přesněji mínus stupeň bodu). To znamená, že stačí prokázat rovnost . Podle lemmatu trojzubce to stačí dokázat . Nyní si všimneme, že , to znamená, že požadovaná rovnost může být přepsána ve tvaru Pojďme to přepsat trochu víc: . Tato rovnost vyplývá z podobnosti trojúhelníků a . Ve skutečnosti jsou úhly a těchto trojúhelníků pravé a úhly a jsou stejné, protože oba spoléhají na oblouk (navíc poměr je roven sinu úhlu ). $já$ $LI\cdot IA=2Rr$ $LI=LB,$ $LB\cdot IA=2Rr$ $2R=LM$ $r=ID,$ $LB\cdot IA=LM\cdot ID.$ $LB/LM=ID/IA$ $\triangle AID$ $\triangle MLB$ $B$ $D$ $A$ $M$ $BL$ $LB/LM=ID/IA$ $\angle BAL$

Historie

Tato věta je pojmenována po Leonhardu Eulerovi, který ji publikoval v roce 1765. Nicméně, stejný výsledek byl publikován dříve William Chapple v roce 1746. [2]

Variace a zobecnění

Pro střed kruhu

Pro excircles rovnice vypadá takto:

(R+r_{out})^{2}=d_{out}^{2}+r_{out}^{2},

kde je poloměr jedné z kružnic a je vzdálenost od středu kružnice opsané ke středu této kružnice [3] [4] [5] . $r_{out}$ $d_{out}$

Pro mnohoúhelníky

Pro poloměry , respektive opsané a vepsané kružnice daného opsaného čtyřúhelníku (viz obr.) a vzdálenost středů těchto kružnic je splněn vztah: $R$ $r$ $d=x$ ${\frac {1}{(R+d)^{2}}}+{\frac {1}{(Rd)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}$ ,

nebo ekvivalentně,

{\displaystyle d^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))

Tento vztah se nazývá Fussova věta . Získal jej Nikolaj Ivanovič Fuss [6] v roce 1792.

Cayleyho Ponceletův teorém zobecňuje Eulerův teorém na vepsané-opsané -gony [7] . $n$

Viz také

Poncelet porismus

Poznámky

↑ Svrtan, Dragutin & Veljan, Darko (2012), Neeuklidovské verze některých klasických trojúhelníkových nerovností , Forum Geometricorum vol . 12: 197–209 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG20127html kopie ze dne 28. října 2019 na Wayback Machine .
↑ Chapple, William (1746), Esej o vlastnostech trojúhelníků vepsaných a opsaných kolem dvou daných kružnic , Miscellanea Curiosa Mathematica vol. 4: 117–124 , < https://archive.org/details/miscellaneacuri01unkngoog/page n142 > . Vzorec pro vzdálenost je v dolní části str. 123.
↑ Roger Nelson. Eulerova trojúhelníková nerovnost přes důkaz beze slov // Magazín Mathematics. - Únor 2008. - Vydání. 81(1) . - S. 58-61 .
↑ R.A. Johnson. moderní geometrie. - Boston: Houghton Mifflin, 1929. - S. 187.
↑ Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Eulerův vzorec a Ponceletův porismus // Forum Geometricorum. - 2001. - Vydání. 1 . — S. 137–140. .
↑ Nicolas Fuss// https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Fuss Archivováno 17. února 2020 na Wayback Machine
↑ Avksentiev, E. A. Invariantní míry a teorémy uzavření typu Poncelet Archived 14. srpna 2016 na Wayback Machine

Odkazy

Weisstein, Eric W. Euler Triangle Formula (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .