Poncelet porismus

Ponceletův porismus je klasický teorém projektivní geometrie . Pojmenováno po Jean-Victor Poncelet .

Historie

Ponceletův porismus objevil francouzský matematik Jean-Victor Poncelet v letech 1812-1814, když byl vězněm v Saratově . V zajetí v Saratově napsal (většinou) své pojednání o projektivních vlastnostech obrazců a také pojednání o analytické geometrii (sedm sešitů, následně vydaných - v letech 1862-1864 - pod názvem Applications d'Analyse et de Géometrie ) .

Speciální případ pro trojúhelníky vycházel z Eulerovy věty .

Formulace

Dovolit být mnohoúhelník s různými vrcholy, vepsaný v kuželosečky a opsaný o další kuželosečky . Pak pro všechny body kuželosečky , jako jsou dotyky , existuje mnohoúhelník vepsaný a opsaný kolem . [jeden] ${\displaystyle A_{1}A_{2}\ldots A_{n))$ $n$ $C$ $\Gamma$ ${\displaystyle B_{1},B_{2))$ $C$ $B_{1}\neq B_{2}$ $B_{1}B_{2}$ $\Gamma$ ${\displaystyle B_{1}B_{2}\ldots B_{n))$ $C$ $\Gamma$

Poznámky

Pokud je kuželosečka kružnicí , polygony, které jsou vepsány do jedné kružnice a opsané kolem druhé, se nazývají bicentrické mnohoúhelníky , takže toto je zvláštní případ Ponceletova porismu, který lze stručně vyjádřit, protože každý bicentrický mnohoúhelník je součástí nekonečné množiny bicentrických mnohoúhelníky vzhledem ke stejným dvěma kružnicím [2] :str. 94 .

Algebraický důkaz

Uvažujme množinu dvojic tvaru "bod na vnější kuželosečce a tečna od ní k vnitřní". Tato množina může být definována algebraickou rovnicí v součinu projektivní roviny a jejího duálu (tj. množiny čar na původní rovině), která je projektivní díky Segreho vložení . Je jasné, že v obecné konfiguraci bude výsledná algebraická varieta nedegenerovaná křivka. Vypočítejme její rod pomocí Riemann-Hurwitzova vzorce : tato varieta se promítne přirozeným způsobem (zapomenutím mapování přímky) na vnější kuželosečku a dva předobrazy budou viset nad společným bodem a pouze v čtyři body - průsečíky kuželoseček, jejichž existenci zaručuje Bezoutova věta , - má jeden předobraz, to znamená, že je rozvětvený v těchto čtyřech bodech a pouze v nich. Eulerova charakteristika krycí křivky je tedy rovna , to znamená, že křivka má rod 1 a vzhledem ke své nedegeneraci je křivkou eliptickou . $2(2-4)+4=0$

Začneme od určitého bodu, kreslíme tečny. Máme-li vybraný počáteční bod a směr průchodu, dostaneme posloupnost dvojic jako "bod na vnější kuželose a tečna od něj k vnitřní". Všimněte si, že jeden nedegenerovaný bod na vnější kuželose odpovídá dvěma bodům na eliptické křivce (odpovídajícím dvěma tečným z ní vycházejícím) a jejich součet jako bodů eliptické křivky dává zobrazení od vnější kuželosečky k eliptické křivce. křivka, což je zobrazení do bodu, protože ji lze zvednout na univerzální pokrytí - komplexní rovinu, kde bude vzhledem ke kompaktnosti koule ohraničená a podle Liouvilleova teorému konstantní. Přenos tečny vycházející z jednoho bodu je tedy dán zobrazením , kde je konstanta. Podobně přenos bodu ležícího na tečně má tvar , a jejich složení má tedy tvar ; ale složení je konstrukce další strany řetězce z předchozí a uzavření řetězce je ekvivalentní tomu, co spočívá v kroucení eliptické křivky jako skupiny přidáním, a proto nezávisí na výchozím bodu ; stejně tak na něm nezávisí pořadí kroucení, tedy počet kroků, ve kterých se řetěz uzavírá. $x\mapsto \xi -x$ $\xi$ $x\mapsto \zeta -x$ $x\mapsto \zeta -\xi +x$ $\zeta-\xi$

Variace a zobecnění

Cayleyho věta

Nechť je kruh a buď elipsa . Pak je podmínka pro zacyklení řetězce dána pomocí Taylorovy řady funkce . (Každý koeficient se vypočítá pomocí a , například .) Konkrétně: $F$ $x^{2}+y^{2}=1$ $G$ $ax^{2}+by^{2}=1$ ${\sqrt {(a^{2}+t)(b^{2}+t)(1+t)}}=c_{0}+c_{1}t+c_{2}t^{2} +\tečky$ $c_{i}$ $A$ $b$ $c_{0}=ab$

Řetízek Poncelet se páruje a smyčkuje přes schody tehdy a jen tehdy $F$ $G$ $2m+1$ ${\begin{vmatrix}c_{2}&\tečky &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\tečky &c_{2m}\end{vmatrix)) =0.$
Řetízek A Poncelet se páruje a smyčkuje přes schody tehdy a jen tehdy, když [3] $F$ $G$ $2m$ ${\begin{vmatrix}c_{3}&\tečky &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\tečky &c_{2m-1}\end{vmatrix }}=0.$

Schwartzova věta

Budiž řetěz Poncelet. Označte přímkou a zvažte průsečíky . Potom pro libovolné celé číslo $A_{0}A_{1}\tečky$ $\ell _{i}$ $A_{i}A_{{i+1}}$ ${\displaystyle B_{i,j}=\ell _{i}\cap \ell _{j))$ $k$

Všechny body leží na stejné kuželosečce. $B_{{i,i+k}}$
Všechny body leží na stejné kuželosečce. $B_{{i,ki}}$

Vícerozměrný analog

Algebraický důkaz Ponceletovy věty se opírá o skutečnost, že průsečík dvou kvadrik v trojrozměrném projektivním prostoru je eliptická křivka . V roce 1972 Miles Reed ve své disertační práci dokázal zobecnění této skutečnosti. Reedův teorém totiž říká, že varieta, která parametrizuje lineární -rozměrné podprostory v -rozměrném projektivním prostoru ležícím na průsečíku dvourozměrných kvadrik (za předpokladu, že tento průsečík není singulární), je jakobiánská varieta nějaké hyperelliptické křivky (rozvětvené dvojité pokrytí racionální křivky) . [4] Tuto hypereliptickou křivku lze zkonstruovat jako místo -rozměrných podprostorů na průsečíku dvou kvadrik, které protínají nějaký pevný -rozměrný podprostor také ležící na průsečíku kvadrik podél podprostoru o rozměru alespoň . Pokud jsou tyto kvadriky redukovány na hlavní osy (to znamená, že mají homogenní rovnice $(n-1)$ $(2n+1)$ $2n$ $(n-1)$ $(n-1)$ $n-2$

$z_{0}^{2}+z_{1}^{2}+\dots +z_{2n+1}^{2}=0,$

$b_{0}z_{0}^{2}+b_{1}z_{1}^{2}+\dots +b_{2n+1}z_{2n+1}^{2}=0$

pro některé koeficienty ), pak je tato křivka biracionálně izomorfní ke křivce dané rovnicí ${\displaystyle b_{0},b_{1},\tečky b_{2n+1))$

y^{2}=(x-b_{0})(x-b_{1})\tečky (x-b_{2n+1}).

Donaghy si všiml, že zákon sčítání na takové rozmanitosti lze definovat geometricky. Totiž, jestliže je nějaká kvadrika ze svazku generovaná našimi dvěma kvadrikami (označujeme je a ), a jsou to dvourozměrné podprostory ležící na stejné propojené rodině a patřící do stejné propojené rodiny a vyříznuté na průsečíku dvou kvadrik dvourozměrné podprostory a , pak je sčítání jednoznačně určeno pravidlem (a volbou nuly). [5] Pokud například , pak je sčítání bodů na eliptické křivce definováno následovně. Zvolme bod jako nulu. Chcete-li sečíst body a , nakreslete čáru a uvažujte kvadriku z tužky, na které tato přímka leží (taková kvadrika je jedinečná a lze ji zkonstruovat například jako spojení sečných čar , které dvakrát protínají eliptickou křivku ). Linka , která je generátorem dvourozměrné kvadriky, patří do jednoparametrové připojené rodiny. Vyberme přímku z této rodiny procházející bodem . Druhý průsečík přímky s eliptickou křivkou bude součtem požadovaného součtu . $Q$ $Q_1$ $Q_{2}$ $E_1$ $E_2$ $n$ $Q$ $E_{i}$ $(n-1)$ $\ell _{i1}$ ${\displaystyle \ell _{i2))$ $\ell _{11}+\ell _{12}=\ell _{21}+\ell _{22}$ $n=1$ $Ó$ $A$ $B$ $AB$ $AB$ $AB$ $p$ $Ó$ $p$ $A+B$

Viz také

Steinerův porismus je podobným tvrzením pro řetězce kruhů.
Eulerův teorém (planimetrie) obsahuje speciální případ Ponceletova porismu pro . $n=3$

Poznámky

↑ Marcel Berger , Geometrie, Důsledek 16.6.11.
↑ Johnson, Roger A. , Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 2007 (původně 1960).
↑ Dragovič, Vladimír, Radnovič, Milena. Poncelet porisms and Beyond. - Springer, 2011. - S. 116. - (Hranice v matematice). — ISBN 3034800142 .
↑ Reid, M.: Kompletní průnik dvou nebo více kvadrik. Diplomová práce, Cambridge (GB) 1972
↑ Donagi, R.: Skupinový zákon o průsecích dvou kvadrik. Předtisk UCLA 1978

Literatura

Bos, HJM; Kers, C.; Oort, F.; Raven, DW Ponceletův teorém o uzavření. Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289-364.

Odkazy

Živá kresba .
Marcel Berge. Geometrie: Per. z francouzštiny. - M.: Mir, 1984. - díl 2, 16.6, s. 140-148.
Tabachnikov S. L., Fuchs D. B. Přednáška 29 // Matematická divertissement . - MTSNMO, 2011. - 512 s. - 2000 výtisků. - ISBN 978-5-94057-731-7 .
V. V. Prasolov . Proof of the Poncelet Theorem by Darboux Archived 27. února 2014 na Wayback Machine , Mat. osvícení, ser. 3, 5, MTsNMO, Moskva, 2001, 140-144.
G. B. Shabat . Around Poncelet Archival copy of April 27, 2016 at Wayback Machine , Summer School "Modern Mathematics", 2014 Dubna.