Segre příloha

Vložení Segre se používá v projektivní geometrii k léčbě přímého produktu dvou projektivních prostorů jako projektivního potrubí . Pojmenováno po italském matematikovi Beniaminu Segre [1] .

Definice

Mapování Segre je definováno jako mapování

\sigma :P^{n}\krát P^{m}\to P^{{(n+1)(m+1)-1}},\

který posílá uspořádanou dvojici bodů do bodu, jehož homogenní souřadnice jsou párovým součinem homogenních souřadnic původních bodů (zapsaných v lexikografickém pořadí ):

\sigma :([x_{0}:x_{1}:\cdots :x_{n}],[y_{0}:y_{1}:\cdots :y_{m}])\mapsto [x_{0 }y_{0}:x_{0}y_{1}:\cdots :x_{i}y_{j}:\cdots :x_{n}y_{m}].\

Obrazem tohoto mapování je projektivní varieta nazývaná Segre variety .

Popis v jazyce lineární algebry

Podle univerzální vlastnosti tenzorového součinu pro vektorové prostory U a V (na stejném poli k ) existuje přirozené zobrazení od jejich kartézského součinu k tenzorovému součinu :

\varphi :U\krát V\to U\otimes V.\

Toto mapování zpravidla není injektivní , protože pro jakékoli , a nenulové $u\v U$ $v\in V$ $c\in k,$

\varphi (u,v)=u\otimes v=cu\otimes c^{{-1}}v=\varphi (cu,c^{{-1}}v).\

Mapování indukuje morfismus projektivizací odpovídajících lineárních prostorů: $\varphi$

\sigma :P(U)\krát P(V)\to P(U\okrát V).\

Tento morfismus není pouze injektivní zobrazení ve smyslu teorie množin , je to také uzavřené ponoření ve smyslu algebraické geometrie (to znamená, že obraz zobrazení může být dán jako množina nul systému polynomiálních rovnic). To vysvětluje důvody, proč se toto mapování nazývá vkládání Segre .

Je snadné vypočítat rozměry odpovídajících prostorů: pokud pak a protože projektivizace zmenší rozměry o jednu, tento případ odpovídá mapování ${\mathrm {dim}}\;U=n+1,\;{\mathrm {dim}}\;V=m+1,$ ${\mathrm {dim}}\;(U\otimes V)=mn+m+n+1,$ ${\mathbb P}^{n}\times {\mathbb P}^{m}\to {\mathbb P}^{{nm+n+m)).$

Vlastnosti

Označíme-li homogenní souřadnice na obrázku vnoření Segre as a zapíšeme je jako matici , pak bude Segreho varieta obsahovat přesně „matice“ úrovně 1, tedy matice, ve kterých jsou všechny minority velikosti rovny nule. Segreho varieta je tedy definována jako množina společných nul rovnic tvaru $z_{{ij}}$ $2\krát 2$

z_{{i,j}}z_{{k,l}}-z_{{i,l}}z_{{k,j}},\

kde

i\neq k,j\neq l.

Vlákna Segreho manifoldu (tj. množiny formy nebo pro pevný bod ) jsou lineárními podprostory obrazu. $\sigma (\cdot ,p)$ $\sigma (p,\cdot )$ $p$

Příklady

Quadric

V případě n = m = 1 je Segreho zobrazení vložením součinu projektivní přímky a sebe sama do trojrozměrného projektivního prostoru. V homogenních souřadnicích je obrazem tohoto zobrazení množina řešení algebraické rovnice

\det \left({\begin{matrix}z_{0}&z_{1}\\z_{2}&z_{3}\end{matrix}}\right)=z_{0}z_{3}-z_{ 1}z_{2}=0.

V komplexním projektivním prostoru je tedy odrůda Segre obyčejný kvadrik bez singularit. V reálném projektivním prostoru se jedná o kvadriku signatury v afinních souřadnicích, která odpovídá jednovrstvému hyperboloidu a hyperbolickému paraboloidu . Obě tyto kvadriky jsou příklady řízených ploch . $(2.2),$

Odrůda Veronese

Obraz úhlopříčky pod mapováním Segre je Veronese varieta stupně dva: $\Delta \subset P^{n}\times P^{n}$

\nu _{2}:P^{n}\to P^{{n^{2}+2n}}.\

Poznámky

↑ Segre embedding // Mathematical Encyclopedia (v 5 svazcích). - M . : Sovětská encyklopedie , 1984. - T. 4. - S. 1101.

Literatura

Harris J. Algebraická geometrie. Počáteční kurz. — M.: MTsNMO, 2005.
Hassett, Brendan (2007) Úvod do algebraické geometrie, strana 154, Cambridge University Press - ISBN 978-0-521-87094-8 .