Řízený povrch

Pravidelná plocha je plocha tvořená pohybem přímky. Čáry patřící k tomuto povrchu se nazývají přímočaré generátory a každá křivka, která protíná všechny přímočaré generátory, se nazývá směrová křivka .

Jestliže je vektor poloměru vodítka, a je jednotkový vektor tvořící přímky procházející skrz , pak je vektor poloměru řízeného povrchu $p(u)$ $m=m(u)$ $p(u)$

r=p(u)+v\cdot m(u),

kde je souřadnice bodu na tvořící přímce. $proti$

Příklady

Řízený helikoid
Vládnutý hyperboloid
Hyperbolický paraboloid
Válec, hyperboloidy a kužel jako pravítko

Vlastnosti

Pravidelná plocha je charakteristická tím, že její asymptotická síť je semigeodická .
Gaussova křivost pravítka . $K\leq 0$
Beltramiho teorém. Pravítko lze vždy ohnout jedinečným způsobem tak, aby se libovolná čára na něm stala asymptotickou.
Bonnetova věta. Pokud se navíc regulovaná plocha , která není rozvinutelná , ohýbá do pravítka , pak si buď jejich generátory navzájem odpovídají, nebo se oba ohýbají do kvadriky, na které je síť odpovídající rodinám generátorů asymptotická. $F$ $F'$
Jediný minimální řízený povrch je helikoid .
Řízená rotační plocha je jednovrstvý hyperboloid , který může být degenerován do válce, kužele nebo roviny.
Existují příklady hladkých pravítek, které neumožňují plynulé parametrizace formuláře $r(u,v)=p(u)+v\cdot m(u).$

Typy

Katalánská plocha je řízená plocha, ve které jsou všechny přímočaré generátory rovnoběžné se stejnou rovinou.
Válcová plocha je pravoúhlá plocha, ve které jsou všechny přímočaré generátory rovnoběžné.
Konoid je řízená plocha, jejíž generátory protínají pevnou linii.

V architektuře

Sinusová řízená střecha, Sagrada Familia (Barcelona)
Didcot
Věž v Ciechanow
Věž v Kobe .
První Shukhov Tower, 1896 Nižnij Novgorod .
Shukhov Tower v Moskvě.
schodiště v Torrazzo Cremona .
Parabolická střecha Varšava .
Kónický klobouk.
Rotunda svatého Mikuláše ve slovinském Selu

Variace a zobecnění

Plochy vytvořené pohybem geodézy v metrickém prostoru se také nazývají řízené plochy. Klasický výsledek Aleksandra Daniloviče Aleksandrova uvádí, že řízený povrch v prostoru CAT(0) s indukovanou vnitřní metrikou je prostor CAT(0). [jeden]

Poznámky

↑ A. D. Aleksandrov , Ruled surface in metric spaces Archivní kopie ze dne 22. dubna 2021 u Wayback Machine , Bulletin Leningradské univerzity č. 1, 1957, str. 5-26

Literatura

Vládnuté plochy // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.