Veronese povrch

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 10. září 2018; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Veronese povrch je algebraický povrch v pětirozměrném projektivním prostoru , který je realizován jako obraz Veronese vložení . Existuje také zobecnění veronského vnoření do libovolných dimenzí projektivních prostorů. Pojmenován po italském matematikovi Giuseppe Veronesem .

Definice

Veronese povrch je obrazem Veronese embedding, tedy mapování

{\displaystyle \nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5))

dáno vzorci

\nu :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]

kde označuje homogenní souřadnice bodu v projektivní rovině. $[x:\ldots ]$

Motivace pro definici

Veronese povrch přirozeně vyvstává při studiu kuželoseček , zvláště když dokazuje tvrzení "pět bodů jednoznačně definuje kuželosečku". Kuželosečka je rovinná křivka daná rovnicí

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0,

který je kvadratický vzhledem k proměnným. Kompozice s Veronesem vnořením nám však umožňuje učinit tuto rovnici lineární (přesněji k získání libovolné kuželosečky stačí protnout Veroneseovu plochu nadrovinou a pořídit inverzní obraz křižovatka). Naopak podmínka, že kuželosečka obsahuje bod, je lineární s ohledem na koeficienty , a proto zmenšuje rozměr prostoru o jedna. Přesnější tvrzení je, že pět bodů v obecné poloze definuje pět nezávislých lineárních rovnic, což vyplývá ze skutečnosti, že podle Veroneseho vložení jdou body v obecné poloze k bodům v obecné poloze. $x,y,z.$ $[x:y:z]$ $(A,B,C,D,E,F)$

Veronese povrch a kuželosečky

Veroneseova plocha může souviset s geometrií kuželoseček jiným způsobem, v jistém smyslu dvojím k tomu popsanému výše. Viděli jsme, že kuželosečka na je definována jako , to znamená, že je s ní spojen nenulový vektor (pro jednoduchost budeme předpokládat, že základní pole je pole komplexních čísel). Proporcionální vektory definují stejnou kuželosečku, takže ve skutečnosti jsou kuželosečky parametrizovány její projektivizací, . Jinými slovy, kuželosečky v rovině mohou být reprezentovány jako body v pětirozměrném projektivním prostoru; v tomto případě bude tužka kuželoseček představována body ležícími na jedné přímce atd. Jak známo, ploché kuželosečky mohou být degenerované a nedegenerované, navíc degenerované mohou být buď dvojice přímek nebo dvojitá čára. Jaké geometrické objekty paramerují degenerované kuželosečky? $\mathbb {P} ^{2}$ $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0$ ${\displaystyle (A,B,C,D,E,F)\in \mathbb {C} ^{6))$ $\mathbb {P} ^{5}$ $\mathbb {P} ^{5}$

Dvojitá čára je kuželosečka s rovnicí . Jednoduché, jednoduché čáry jsou parametrizovány duální projektivní rovinou; "zdvojení" přímky bude definovat mapování z do prostoru , který parametrizuje kuželosečky. Rozbalením závorek vidíme, jak to napsat explicitně: , odkud máme , což je ekvivalentní Veroneseho zobrazení až do lineární transformace. $(Lx+My+Nz)^{2}=0$ $\mathbb {P} ^{2}$ $\left(\mathbb {P} ^{2}\right)^{*}$ $\mathbb {P} ^{5}$ $(Lx+My+Nz)^{2}=L^{2}x^{2}+2LMxy+M^{2}y^{2}+2LNxz+2MNyz+N^{2}z^ {2}$ $(A,B,C,D,E,F)=(L^{2},2LM,M^{2},2LN,2MN,N^{2})$

Jestliže Veroneseho plocha parametrizuje dvojité čáry, co pak parametrizuje zbytek degenerovaných kuželoseček? Pro takovou varietu je snadné napsat rovnici: ve skutečnosti lze kuželosečku považovat za kvadratickou formu danou maticí . Zmizení jejího determinantu znamená, že odpovídající kuželosečka není hladká; rovnice třetího stupně v maticových koeficientech a definuje kubickou hyperplochu v . $Q={\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix)).$ $\det Q=0$ $\mathbb {P} ^{5}$

Tato hyperplocha má také geometrické provedení. Jak víme, čáry představují svazky plochých kuželoseček. Je snadné ukázat, že přímky tečné k Veroneseově ploše definují tužku kuželoseček následujícího tvaru: upevníme přímku a bod a druhou přímku otočíme kolem tohoto bodu. Proto rozmanitost degenerovaných kvadrik je spojením všech tečných rovin k povrchu Veronese. $\mathbb {P} ^{5}$ $\ell$ $p\in \ell$

S tím souvisí dvě zajímavé geometrické skutečnosti. Jak je známo, v pětirozměrném prostoru nemají dvě náhodně vzaté roviny společné body (stejně jako se v trojrozměrném prostoru protínají dvě náhodně vybrané přímky). Dvě roviny, které jsou tečné k Veroneseské ploše, však mají průsečík: totiž vezmeme-li body Veroneseské plochy odpovídající dvojitým přímkám s rovnicemi a , pak tečné roviny v nich mají společný bod - představující a kvadrika s rovnicí . To je o to pozoruhodnější, že povrch Veronese neleží v žádné nadrovině (a ve čtyřrozměrném projektivním prostoru se žádné dvě roviny protínají). Pro srovnání, jestliže křivka v má vlastnost, že se libovolné dvě její tečny protínají, pak tato křivka leží v nějaké rovině. $L_{1}(x,y,z)^{2}=0$ $L_{2}(x,y,z)^{2}=0$ $L_{1}L_{2}=0$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}\subset \mathbb {P} ^{5))$ $\mathbb {P} ^{3}$

Další skutečností je do jisté míry přeformulování té první. V zásadě bychom mohli uvažovat nikoli o spojení všech jeho tečných čar, ale o spojení všech jeho sekantů. Obsahoval by různé tečny, protože tečna je omezující pozicí sečny, ale mohla by být větší. Ve skutečnosti, pokud dva body Veroneseho povrchu jsou dvojité čáry s rovnicemi a , pak kuželosečky z jimi generované tužky budou mít rovnice ve tvaru , a proto mají singularitu v bodě průsečíku čar a . Rozmanitost sečnic povrchu Veronese je tedy vyčerpána rozmanitostí tečen. Toto je vzácný jev. Naivní kalkulace rozměrů by ukázala, že varieta sečny je pětirozměrná: čtyři parametry jsou nutné k určení dvou bodů na povrchu a jeden další k určení polohy bodu na tětivě, která je překrývá. V případě obecného povrchu tento naivní kalkul rozměrů funguje, a proto bude jeho sečnovou rozmanitostí vše . Například zkroucená krychle (nazývaná také Veroneseova křivka) se chová podobně : skrz kterýkoli bod v prostoru můžete nakreslit přímku, která jej dvakrát protíná (nebo se jí dotýká v jednom bodě, ale s násobkem dvou) . V případě povrchu Veronese výpočet rozměrů selhává, protože každým bodem, kterým prochází sečna, ve skutečnosti neprochází jedna, ale celá jednoparametrová rodina sečn. Tento jev se nazývá sečnová nedostatečnost . $L_{1}(x,y,z)^{2}=0$ $L_{2}(x,y,z)^{2}=0$ $aL_{1}^{2}+bL_{2}^{2}=0$ $L_{1}=0$ $L_{2}=0$ $\mathbb {P} ^{5}$ $\mathbb {P} ^{5}$ $\mathbb {P} ^{3}$

Tento úžasný povrch straší geometry dodnes, navíc v těch nejneočekávanějších podobách. Můžeme tedy uvažovat dvojitý kryt rozvětvený v křivce rodu šest - to bude K3-plocha , označená písmenem . Inverzním obrazem přímky bude na této ploše křivka, totiž dvojitý kryt rozvětvený v šesti bodech, tedy křivka rodu 2 . V souladu s tím se kuželosečka v obecné poloze zvedne na dvouvrstvý kryt rozvětvený v bodech. Z kalkulu Eulerovy charakteristiky máme . Lineární systém křivky rodu na ploše K3 je vždy -rozměrný, to znamená, že bez ohledu na to, jak deformujeme zdviženou křivku na , stále zůstane zdvihem nějaké kuželosečky (protože kuželosečky v rovině jsou dány také pět parametrů). S tímto lineárním systémem lze spojit různé moduly kladek s podpěrami v takových křivkách; bude to holomorfně symplektická varieta s Lagrangeovou fibrací (mapování projekce je přiřazení svazku její podpory, nebo přesněji kvadriky, ze které je tato podpora zvednuta). Je zajímavý tím, že jeho Mukai vektor není primitivní, a proto není hladký. Jeho speciální vrstvy odpovídají speciálním křivkám. Někdy speciální křivky vycházejí z hladkých kvadrik – v nejjednodušším případě z těch, které mají jednu jednoduchou tečnost s rozvětvenou sextikou. Ale všechny speciální kvadriky se samozřejmě zvedají do speciálních křivek. V tomto případě budou singulární vlákna nad body odpovídajícími dvojicím čar také redukovatelná – jedna složka bude parametrizovat snopy na předobrazu jedné čáry a druhá na předobrazu druhé. V diskriminačním lokusu takové Lagrangeovy fibrace tedy bude složka uspořádaná jako množina sekantů veronského povrchu; vrstvy nad ním budou redukovatelné a rozdělené na dvě složky. Navíc, monodromie kolem povrchu Veronese bude permutovat pár čar, a tedy dvě neredukovatelné složky vlákna; pokud by takový svazek měl alespoň homologický řez, pak by nutně protínal obě ireducibilní složky, a proto by protínal hladkou vrstvu s násobností 2, a nikoli 1. Takový Lagrangův svazek tedy nepřipouští topologický řez, který dává protipříklad k jedné hypotéze Bogomolova . Na druhou stranu úpravou speciálních vrstev lze dosáhnout toho, že monodromie zmizí a objeví se řez; ale to mění topologický typ variety - z Hilbertova schématu se stává výjimečná 10-rozměrná O'Gradyho varieta . $\mathbb {P} ^{2}$ $S$ $\mathbb {P} ^{1}$ $2\cdot 6=12$ $2-2g=2(2-12)+12$ $g=5$ $G$ $G$ $S$ $S$

Mapování Veronese

Veroneseho zobrazení stupně d z n - rozměrného projektivního prostoru je zobrazení

{\displaystyle \nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m))

kde m je dáno binomickým koeficientem :

m={n+d \choose d}-1.

Mapa posílá bod do všech možných monomíů z plné síly d . Soubor takových monomiálů se nazývá odrůda Veronese . $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n))$

Pro nízké d je mapování triviální: pro d = 0 dostaneme zobrazení do jednoho bodu , pro d = 1 mapování identity; proto se obvykle uvažuje případ d alespoň dva. $\mathbb {P} _{0}$

Veronese mapování lze definovat na souřadnicích nezávislým způsobem, jmenovitě

\nu _{d}:\mathbb {P} V\to \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)))

kde V je konečný-dimenzionální vektorový prostor a je jeho symetrický stupeň . ${\rm {{Sym}^{d}V))$

Racionální normální křivky

Obraz Veronese vkládání je známý jako racionální normální křivka . Uveďme příklady racionálních normálních křivek malých rozměrů: $n=1$

Když Veronese vložení je mapování identity projektivní linie na sebe. $n=1,d=1$
Když Veronese manifold je parabola v afinních souřadnicích $n=1,d=2$ $[x^{2}:xy:y^{2}],$ $(x,x^{2}).$
Když je odrůda Veronese zkroucená krychle , v afinních souřadnicích $n=1,d=3$ $[x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],$ $(x,x^{2},x^{3}).$

Biregularity Veronese vkládání

Obraz manifoldu pod Veronese vložením je opět manifold a isomorfní k prvnímu (to znamená, že existuje inverzní zobrazení, které je také pravidelné ). Veronese vkládání je tedy biregulární .

Z biregularity zejména vyplývá, že body v obecné poloze přecházejí na body v obecné poloze. Pokud by obrazy bodů skutečně vyhovovaly netriviální rovnici, tato rovnice by definovala podvarietu, jejíž inverzní obraz by byl podvarietou obsahující původní body. Může být také použit k ukázce, že jakákoli projektivní varieta je průsečíkem Veronese variety a lineárního prostoru, tedy průsečíkem kvadrik .

Literatura

Harris J. Algebraická geometrie. Počáteční kurz. — M.: MTsNMO, 2005. ISBN 5-94057-084-4