Algebraická odrůda

Algebraická rozmanitost je centrální předmět studia v algebraické geometrii . Klasická definice algebraické variety je soubor řešení systému algebraických rovnic přes reálná nebo komplexní čísla. Moderní definice to různými způsoby zobecňují, ale snažte se zachovat geometrickou intuici v souladu s touto definicí [1] .

Definice algebraické variety se může mezi autory mírně lišit: někteří autoři [2] do definice zahrnují vlastnost neredukovatelnosti (to znamená, že varieta nemůže být sjednocením menších variet, viz níže), zatímco někteří [3] rozlišují mezi neredukovatelná a „obecná“ rozmanitost. V tomto článku se budeme držet první konvence a budeme množiny řešení nazývat soustavy rovnic, které nejsou neredukovatelné algebraické množiny .

Pojem algebraické variety má určitou podobnost s konceptem hladké variety . Rozdíl je v tom, že algebraické variety, na rozdíl od hladkých variet, mohou mít singulární body . Okolí nesingulárního bodu skutečné algebraické variety je izomorfní k hladké variety.

Základní teorém algebry , který byl dokázán kolem roku 1800, vytvořil spojení mezi algebrou a geometrií a ukázal, že redukovaný polynom v jedné proměnné (algebraický objekt) je jednoznačně určen svými komplexními kořeny, tj. konečnou množinou bodů v komplexní rovině ( geometrický objekt). Hilbertův nulový teorém , zobecňující tento výsledek, vytvořil základní shodu mezi ideály polynomického kruhu a algebraickými odrůdami. Používat Hilbertovu nulovou větu a příbuzné výsledky, matematici založili korespondenci mezi otázkami o algebraických rozmanitostech a otázkami o teorii prstenu ; použití takových korespondencí je charakteristickým znakem algebraické geometrie.

Definice

Existují různé typy algebraických variet: afinní variety, projektivní variety, kvaziprojektivní variety. Algebraická varieta v nejobecnějším smyslu je získána slepením několika kvaziprojektivních variet.

Afinní odrůdy

Nechť k je algebraicky uzavřené pole (v klasické algebraické geometrii obor komplexních čísel ); je n - rozměrný afinní prostor nad k . Existuje teorém z klasické analýzy, který říká, že uzavřené podmnožiny jsou přesně nulovými soubory všech možných nekonečně diferencovatelných funkcí . [4] Zarisského topologie v jistém smyslu rozšiřuje tuto vlastnost na případ polynomiálních funkcí : při definování Zarisského topologie je každá sada polynomů v n proměnných spojena s množinou bodů v afinním prostoru, ve kterých všechny tyto polynomy mizí: ${\mathbb A}^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Z(S)=\{x\in {\mathbb A}^{n}\mid f(x)=0\;\forall f\in S\}.

Uzavřené množiny v topologii Zariski jsou všechny množiny tvaru Z ( S ), také tyto uzavřené množiny se nazývají algebraické množiny . Afinní algebraická varieta je algebraická množina, kterou nelze reprezentovat jako spojení dvou menších algebraických množin. ${\mathbb A}^{n}$

Podmnožina může být spojena s ideálem sestávajícím z polynomů rovných nule na této podmnožině: $V\subseteq \mathbb {A} ^{n}$

I(V)=\{f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(x)=0\;\forall x\in V\}.

V případě, že V je algebraická varieta, faktorový okruh okruhu polynomů podle ideálu I ( V ) se nazývá souřadnicový okruh dané variety, obvykle označovaný k [ V ]. Všimněte si, že algebraická množina V je varietou právě tehdy, když I ( V ) je prvočíslo (nebo ekvivalentně, souřadnicový kruh je integrální ).

Projektivní a kvaziprojektivní variety

Nechť k je algebraicky uzavřené pole a je n - rozměrný projektivní prostor nad k , tedy projektivizace . Žádný polynom nedefinuje funkci na tomto prostoru (protože jeden bod má mnoho různých homogenních souřadnic), nicméně pro homogenní polynom v n + 1 proměnných lze správně určit body, ve kterých je polynom roven nule (protože proporcionální homogenní souřadnice odpovídají proporcionálním hodnotám homogenního polynomu). Množinu homogenních polynomů S lze tedy asociovat s množinou bodů Z ( S ), ve kterých jsou všechny tyto polynomy rovny nule, to definuje Zarisského topologii na projektivním prostoru. Projektivní algebraická varieta je neredukovatelná uzavřená (v topologii Zariski) podmnožina projektivního prostoru . Množina V může být spojena s homogenním ideálem generovaným homogenními polynomy, které mizí na V . Podílový prstenec se nazývá homogenní souřadnicový prstenec . ${\mathbb P}^{n}$ ${\mathbb A}^{{n+1}}$ ${\mathbb {P}}^{n}$

Kvaziprojektivní varieta je otevřená podmnožina projektivní variety. Zejména jakákoli afinní varieta je izomorfní vůči kvaziprojektivní [5] .

Abstraktní algebraické variety

V klasické algebraické geometrii byly uvažovány pouze kvaziprojektivní variety. Nevýhodou této definice je, že člověk musí zafixovat určité vnoření variety do projektivního prostoru: např. nelze varietu nazvat varietou, dokud není dáno její vnoření do projektivního prostoru (pro specifikaci takového vložení je třeba použít vložení Segre ). Kromě toho, pokud lze algebraickou varietu vložit do jednoho projektivního prostoru, lze ji vložit do nekonečného počtu dalších pomocí kompozice s vnořením Veronese . Zdaleka není zřejmé, že vlastnosti variet (jako je vlastnost zobrazení mezi varietami být pravidelný) nezávisí na volbě takového vložení. ${\mathbb P}^{1}\times {\mathbb P}^{1}$

První pokus o abstraktní definici algebraické variety (tj. bez určení vnoření do projektivního prostoru) učinil Weil , který definoval variety z hlediska ohodnocení v Základech algebraické geometrie . Claude Chevallet navrhl definici schématu, která fungovala ve více situacích. Definice schématu Alexandra Grothendiecka však byla ještě obecnější a byla přijata velkým počtem matematiků. V jazyce teorie schémat je algebraická varieta obvykle definována jako celé separovatelné schéma konečného typu nad algebraicky uzavřeným polem [6] , někteří autoři odmítají i požadavek algebraické uzavřenosti či neredukovatelnosti.

Příklady

Níže je uvedeno několik příkladů algebraických variet (navíc jsou to všechny algebraické křivky ). Mnoho dalších příkladů lze nalézt v kategorii algebraických křivek .

Speciální případy algebraických variet

Rozměr rozdělovače→ Polynomický stupeň↓	0	jeden	2	…	k
jeden	Tečka	Rovný	Letadlo	…	nadrovina
2		Konika	Povrch druhého řádu	…	Quadric
3		krychle	Povrch třetího řádu	…	Rozdělovač 3. řádu
čtyři		kvartický	Povrch čtvrtého řádu	…	Rozdělte 4 objednávky
…		…	…	…	…
k		Algebraická křivka	Algebraická plocha	…	Algebraická odrůda

Afinní linie

Uvažujme polynom z kruhu ${\mathbb C}[x,y]:$

f(x,y)=ax+by+c.

Množina nul tohoto polynomu je afinní čára v . Abychom dokázali, že afinní přímka je algebraická varieta, stačí si všimnout, že polynom je ireducibilní a kruh k [ x , y ] je faktoriál (ve faktoriálním okruhu je hlavní ideál generovaný ireducibilním polynomem jednoduchý ). ${\mathbb C}^{2}$ $sekera+by+c$

Kvadriky

Všechny elipsy, paraboly a hyperboly (tedy všechny nedegenerované kvadriky ) jsou algebraické podvariety komplexní roviny. Degenerovaná kvadrika není vždy algebraická varieta: například kvadrika může být reprezentována jako spojení dvou čar, v tomto případě je taková reprezentace jedinečná. Není to náhodné: jakákoliv algebraická množina může být reprezentována jako sjednocení konečného počtu algebraických variet (z nichž žádná není podvarietou jiné) a navíc jedinečným způsobem [7] . $xy$

Twisted Cube

Množina bodů v prostoru mající tvar je afinní algebraická varieta a navíc algebraická křivka, která není obsažena v žádné rovině. [8] Tato množina je „zkroucená krychle“ zobrazená na obrázku výše (přesněji je zobrazena její projekce do trojrozměrného reálného prostoru). Lze ji definovat jako množinu společných nul dvou rovnic: ${\mathbb C}^{3}$ $(z,z^{2},z^{3})$

{\begin{aligned}yx^{2}&=0\\zx^{3}&=0.\,\end{aligned}}

Neredukovatelnost této množiny lze nejsnáze prokázat pomocí projekce ( x , y , z ) → ( x , y ), která je injektivní na množinu řešení a jejímž obrazem je ireducibilní křivka (parabola).

Zkroucený krychlový je obvykle považován za projektivní varietu v , což je obraz veronského mapování . V mnoha učebnicích je uváděna jako nejjednodušší příklad křivky v projektivním prostoru, který není lineární. Obrázek této odrůdy v jednom z afinních grafů byl zvažován výše . ${\mathbb P}^{3}$

Související definice

Běžné zobrazení

Pravidelné zobrazení mezi afinními odrůdami je zobrazení dané polynomy. Přesněji, pokud jsou afinní variety, pravidelné zobrazení je zobrazení tvaru , kde , a , to znamená, že obraz libovolného bodu z X splňuje rovnice, které definují Y . $X\in {\mathbb A}^{n},Y\in {\mathbb A}^{m}$ $f=(f_{1},\tečky ,f_{m})$ $f_{i}\in k[x_{1},\tečky ,x_{n}]/I(X)$ $f(X)\subseteq Y$

Obecněji platí, že zobrazení ƒ : X → Y kvaziprojektivních variet je pravidelné v bodě x , pokud existuje okolí U x a okolí V f ( x ) takové, že omezení ƒ : U → V je regulární. mapování (afinních) odrůd. Pak je zobrazení regulární , pokud je regulární ve všech bodech definičního oboru.

Regulární mapování na se nazývá regulární funkce . Okruh regulárních funkcí na afinní variety V se nazývá souřadnicový kruh k [ V ]. Tato definice se shoduje s definicí souřadnicového prstence uvedenou výše , protože dvě pravidelné funkce se neshodují na tehdy a pouze tehdy, pokud jejich rozdíl patří k . Tento kruh se také shoduje s kruhem racionálních funkcí, jejichž hodnoty jsou konečné ve všech bodech V (důkaz této skutečnosti využívá neredukovatelnost variety [9] ), nebo abstraktněji s kruhem globálních sekcí. strukturního svazku na V (viz články Spektrum prstenu , Schéma ) . Můžeme také uvažovat pole funkcí k ( V ) na algebraické variety V , sestávající ze všech racionálních funkcí na V. ${\mathbb A}^{1}$ ${\mathbb A}^{n}$ $V\in {\mathbb A}^{n}$ $já (V)$

Regulární zobrazení jsou podle definice morfismy v kategorii algebraických variet. Zejména ze skutečnosti, že kategorie afinních schémat je duální s kategorií komutativních kruhů , vyplývá, že pravidelná zobrazení mezi afinními varietami jsou v přímé korespondenci s homomorfismy jejich souřadnicových kruhů.

Reverzibilní pravidelné zobrazení, jehož inverzní je také regulární, se nazývá biregulární zobrazení . Algebraické variety jsou izomorfní právě tehdy, když mezi nimi existuje biregulární zobrazení.

Pravidelnost zobrazení je poměrně silnou podmínkou: například z Liouvilleovy věty vyplývá, že jedinými pravidelnými funkcemi na projektivní variety jsou konstanty. Z tohoto důvodu se často používají slabší podmínky - racionalita mapování a biracionální ekvivalence odrůd.

Rozměr rozdělovače

Nechť k [ V ] je souřadnicový kruh V . Pak dimenze V je míra transcendence pole zlomků prstence k [ V ] jako rozšíření pole k [10] .

Existuje mnoho ekvivalentních definic dimenze. Nechť x je například libovolný nesingulární bod odrůdy V , pak strukturní svazek na V nám umožňuje definovat lokální prstenec R x „racionálních funkcí v bodě x “ s maximálním ideálním m , pak rozměr odrůdy je rozměr faktorového kruhu m / m 2 jako vektorového prostoru nad polem R x / m . Další definice: dimenze afinní variety A je supremum n tak, že existuje řetězec afinních pododrůd . $X_{0}\subsetneq X_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq X_{n}=A$

Algebraické varianty dimenze 1 se nazývají algebraické křivky . Nejčastěji jsou uvažovány komplexní algebraické křivky, v okolí nesingulárního bodu jsou homeomorfní k dvourozměrné reálné varietě . Rod komplexní algebraické křivky je rod odpovídajícího topologického povrchu.

Algebraické varianty dimenze 2 se nazývají algebraické plochy .

Viz také

Schéma (matematika)

Poznámky

↑ Hartshorne, 1981 , s. 86-88.
↑ Hartshorne, 1981 , s. osmnáct.
↑ Harris, 2005 , str. 17.
↑ Jet Nestruev . Hladké rozdělovače a pozorovatelny. Kapitola 2, Návrh 2.4.
↑ Hartshorne, 1981 , cvičení 2.9, s. třicet.
↑ Hartshorne, 1981 , s. 141.
↑ Hartshorne, 1981 , s. 21.
↑ Harris, str. 24; neredukovatelnost tohoto souboru je cvičením v Hartshorne, str. 24.
↑ Hartshorne, 1981 , s. 35.
↑ Harris, 2005 , str. 171.

Literatura

Mumford D. Červená kniha o manifoldech a schématech. - M. : MTsNMO, 2007. - 296 s. — ISBN 978-5-94057-195-7 .
Hartshorne R. Algebraická geometrie. — M .: Mir, 1981. — 597 s.
Shafarevič I. R. Základy algebraické geometrie. - M. : MTSNMO, 2007. - 589 s. - ISBN 978-5-94057-085-1 .
Harris J. Algebraická geometrie. Počáteční kurz. - M. : MTSNMO, 2005. - 400 s. - ISBN 5-94057-084-4 .

Odkazy

Ravi Vakil , MATH 216: Základy algebraické geometrie Archivováno 5. října 2013 na Wayback Machine (verze 6/11/2013) – poznámky z kurzu algebraické geometrie vyučovaného na Stanfordské univerzitě.
SURFER Archived 2. července 2017 na Wayback Machine je freewarový program pro vizualizaci algebraických povrchů.