Paraboloid

Paraboloid je druh povrchu druhého řádu v trojrozměrném euklidovském prostoru .

Paraboloid lze charakterizovat jako neuzavřený necentrální (tj. bez středu symetrie ) povrch druhého řádu.

Kanonické rovnice paraboloidu v kartézských souřadnicích :

z=tx^{2}+uy^{2},

kde a jsou reálná čísla , která se zároveň nerovnají nule.

t

u

kde:

jestliže a stejného znaménka, pak se paraboloid nazývá eliptický , speciální případ eliptického paraboloidu v tomto případě se plocha obvykle nazývá rotační paraboloid ; $t$ $u$ $t=u,$
jestliže a jiného znaménka, pak se paraboloid nazývá hyperbolický ; $t$ $u$
pokud je jeden z koeficientů nulový, pak se paraboloid nazývá parabolický válec .

Řezy paraboloidem svislými ( s osou rovnoběžnými ) rovinami libovolné polohy - paraboly . $z$

Řezy paraboloidu vodorovnými rovinami rovnoběžnými s rovinou pro eliptický paraboloid jsou elipsy , pro rotační paraboloid jsou tyto průsečíky kružnicemi, pokud takový průsečík existuje. $x,\ y$

Průsečíky pro hyperbolický paraboloid jsou hyperboly .

Ve zvláštních případech průniku se může řez ukázat jako přímka nebo dvojice čar (pro hyperbolický paraboloid nebo pár rovnoběžných čar pro parabolický válec) nebo degenerovat do jednoho bodu (pro eliptický paraboloid).

Eliptický paraboloid

Eliptický paraboloid je plocha definovaná funkcí tvaru:

z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.

Eliptický paraboloid lze popsat jako rodinu paralelních parabol s větvemi nahoru, jejichž vrcholy popisují parabolu, s větvemi také nahoru (viz obrázek).

Jestliže , pak eliptický paraboloid je rotační plocha tvořená rotací paraboly kolem její osy symetrie. $a=b$

Hyperbolický paraboloid

Hyperbolický paraboloid (v konstrukci nazývaný "gipar") - sedlový povrch , popsaný v pravoúhlém souřadnicovém systému rovnicí tvaru

z = \frac {x^2}{a^2} - \frac {y^2}{b^2}

nebo

z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.

Hyperbolický paraboloid lze také vytvořit pohybem paraboly, jejíž větve směřují dolů podél paraboly, jejíž větve směřují nahoru (viz obrázek).

Hyperbolický paraboloid je regulovaná plocha .

Plocha generovaná bilineární interpolací nějaké funkce přes 4 body je hyperbolický paraboloid.

Zajímavosti

Povrch kapaliny v rovnoměrně rotující nádobě je paraboloid rotace (což není přímý důvod pro její název).
Vlastnost rotačního paraboloidu se často používá ke shromažďování svazku paprsků rovnoběžných s hlavní osou v jednom bodě - ohnisku , nebo naopak k vytvoření paralelního svazku záření ze zdroje v ohnisku. Na tomto principu je založena činnost parabolických antén , odrazných dalekohledů s parabolickým zrcadlem, reflektorů , světlometů automobilů atd . Více viz reflektor (zrcadlo) .

Viz také

Hyperboloid je jiný druh povrchu druhého řádu.
Povrchy druhého řádu .
Čtvercový tvar .

Literatura

Delaunay B. N., Raikov D. A. Analytic geometry, ve dvou svazcích. — M., L.: Gostekhizdat , 1948, 1949.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analytická geometrie. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 s.
Kanatnikov A. N., Krishchenko A. P. Analytická geometrie. - M . : Vydavatelství MSTU im. N. E. Bauman, 2002. - 388 s. — ISBN 5-7038-1671-8 .