Erdős-Kacův teorém

Erdős-Kacův teorém je výrok v teorii čísel , který spojuje rozdělení počtu různých prvočíselných dělitelů velkých čísel s rovnicemi limitních zákonů teorie pravděpodobnosti . Tento výsledek teorie čísel , získaný Palem Erdősem a Markem Katzem v roce 1940, uvádí, že pokud je počet různých prvočíselných dělitelů čísla , pak limitní rozdělení množství $\omega(n)$ $n$

{\displaystyle {\frac {\omega (n)-\log \log n}{\sqrt {\log \log n))))

je standardní normální rozdělení . Toto je hluboké zobecnění Hardyho-Ramanujanova teorému , který říká, že „střední“ hodnota je , a „směrodatná odchylka“ není větší než . $\omega(n)$ $\log \log n$ ${\sqrt {\log \log n))$

Věta

Formálněji, teorém říká, že pro jakýkoli pevný , máme : $a<b$

\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{x}}\left|\left\{n\leq x:a\leq {\frac {\omega (n)-\log \log n}{\sqrt {\log \log n))}\leq b\right\}\right|=\Phi (a,b)

kde

\Phi (a,b)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-t^{2}/2}\ ,dt.

Původní důkaz

V původním důkazu [1] je tvrzení o normalitě rozdělení v prvním lemmatu věty založeno na skutečnosti, že funkce je aditivní a lze ji reprezentovat jako součet prvotřídních indikátorů dělitelnosti . Dále, aniž by zaváděli koncept náhodné veličiny, autoři tvrdí, že indikátorové členy jsou nezávislé [2] . Poté, aniž bychom zacházeli do podrobností, autoři odkazují na zdroj [3] , kde je normalita rozdělení prokázána pro součty slabě závislých náhodných veličin [4] . V závěru důkazu se autoři omlouvají za povrchnost „statistického“ [5] lemmatu. $\omega(n)$

V roce 1958 Alfred Renyi a Pal Turan podali přesnější důkaz.

Funkce

Věta je o rozdělení deterministických proměnných , a ne o rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné . Ale pokud je náhodné číslo vybráno na dostatečně velkém segmentu přirozených čísel , pak počet různých prvočíselných dělitelů tohoto čísla bude mít přibližně normální rozdělení s matematickým očekáváním a rozptylem rovným průměrné hodnotě na segmentu. Protože tato funkce, nazývaná iterovaný logaritmus, roste pomalu, takové průměrování nepovede k velké chybě ani ve velmi dlouhých intervalech. Typ rozdělení spojuje Erdős-Kacův teorém s centrální limitní větou . $n$ $\log \log n$

Rychlost růstu iterovaného logaritmu

Iterovaný logaritmus je extrémně pomalu rostoucí funkce. Zejména čísla do miliardy obsahují v rozkladu na prvočísla v průměru tři prvočísla.

Například 1 000 000 003 = 23 × 307 × 141 623 .

n	Počet znaků v n	Průměrný počet prvočísel v expanzi	střední odchylka
1000	čtyři	2	1.4
1 000 000 000	deset	3	1.7
1,000,000,000,000,000,000,000,000	25	čtyři	2
10 65	66	5	2.2
10 9566	9567	deset	3.2
10 210 704 568	210 704 569	dvacet	4.5
10 10 22	10 22 +1	padesáti	7.1
10 10 44	10 44 +1	100	deset
10 10 434	10 434 +1	1000	31.6

Pokud kouli o velikosti Země naplníte pískem, potřebujete asi 10 33 zrnek písku. K vyplnění viditelné části vesmíru by bylo zapotřebí 1093 zrnek písku. Vejde se tam i 10 185 kvantových strun .

Čísla této velikosti - se 186 číslicemi - sestávají v průměru pouze ze 6 prvočísel v rozkladu.

Poznámky

↑ Paul Erdős , Mark Kac. Gaussův zákon chyb v teorii aditivních číselných teoretických funkcí // American Journal of Mathematics. - 1940. - T. 62 , č. 1/4 . - S. 738-742 . Archivováno z originálu 17. října 2014. (MR2, 42c; Zentralblatt 24, 102
↑ Pokud je číslo dělitelné , pak není dělitelné prvočíslem . To znamená, že pokud několik indikátorů nabývá hodnoty 1, pak jsou zbývající indikátory rovny 0. Indikátory jsou na sobě slabě závislé a navíc mají různé rozložení. $n$ $m$ $p>{\frac {n}{m))$
↑ Srov. například první kapitola práce S. Bernsteina, "Sur I'extension du theoreme limite du calcul des probabilites aux sommes de quantites Dependantes", Mathematische Annalen, sv. 97, str. 1-59.
↑ Vzájemná závislost pojmů se zřejmě předpokládá, ale není specifikována.
↑ Citáty autorů.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Erdős–Kac Theorem (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Timothy Gowers: Význam matematiky (část 6, 4 minuty) a (část 7)