Reesova věta o reprezentaci

Reesova věta o reprezentaci (také Rees-Fréchetova věta ) je vyjádřením funkcionální analýzy , podle níž každý lineárně ohraničený funkcionál v Hilbertově prostoru může být reprezentován vnitřním součinem pomocí nějakého prvku. Pojmenován po maďarském matematikovi Frigyes Rys .

Formulace

Nechť je v prostoru Hilbertův prostor a lineárně ohraničený funkcionál . Pak je tu jedinečný prvek prostoru , takový, že pro libovolný . Navíc je splněna rovnost: . $H$ $f\in H'$ $H$ $y$ $H$ $x\v H$ $f(x)=\langle y,x\rangle$ $\|y\|=\|f\|$

Důkaz

$\ker(f)$ jádrem lineárního funkcionálu je vektorový podprostor . $H$

Existence $y$

Pokud , tak stačí vzít . Předpokládejme, že . Potom , a proto ortogonální doplněk jádra není roven . Zvolíme libovolný nenulový vektor . Nechte _ Ukážeme to všem . Zvažte vektor . Všimněte si, že a tedy . Protože pak . Tudíž, $f\ekviv 0$ $y=0$ $f\neq 0$ $\ker(f)\neq H$ ${\displaystyle \ker(f)^{\bot ))$ $F$ $\{0\}$ $b\in \ker(f)^{\bot }\setminus {\big \{}0{\big \))$ $y={\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}b$ $f(x)=\langle y,x\rangle$ $x\v H$ $p_{x}=x-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}b$ $f(p_{x})=f(x)-{\tfrac {f(x)}{f(b)))f(b)=0$ $p_{x}\in \ker(f)$ ${\displaystyle b\in \ker(f)^{\bot ))$ $\langle b,p_{x}\rangle =0$

$\langle b,p_{x}\rangle ={\Big \langle }b,x-{f(x) \over f(b)}b{\Big \rangle }=\langle b,x\ rozsah -{f(x) \over f(b)}\|b\|^{2}=0$ .

Odtud a . $f(x)=\langle b,x\rangle {\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2))}$ $f(x)=\langle y,x\rangle$

Jedinečnost $y$

Předpokládejme, že a prvky vyhovují . $y$ $z$ $H$ $f(x)=\langle y,x\rangle =\langle z,x\rangle$

To znamená, že rovnost platí pro všechny , zejména od těch, od kterých je rovnost získána . $x\v H$ $\langle yz,x\rangle =0$ $\langle yz,yz\rangle =\|yz\|^{2}=0$ $y=z$

Rovnost norem

Abychom to dokázali, nejprve z Cauchy-Bunyakovského nerovnosti máme: . Podle definice normy funkcionálu tedy máme: Kromě toho, , odkud . Spojením dvou nerovností dostaneme . $\|y\|=\|f\|$ $|f(x)|=|\langle y,x\rangle |\leq \|y\|\|x\|$ $\|f\|\leq \|y\|.$ $\langle y,y\rangle =f(y)\leq \|y\|\|f\|$ $\|y\|\leq \|f\|$ $\|y\|=\|f\|$

Viz také

Lax-Milgramova věta