Chern-Simonsova teorie

Chern-Simonsova teorie je trojrozměrná topologická schwartzovská kvantová teorie pole navržená Edwardem Wittenem . Pojmenováno po geometrech Zhen Xingshen (Chern) a James Simons . Teorie je tak pojmenována, protože její účinek je úměrný Chern-Simonsově formě.

Ve fyzice kondenzované hmoty popisuje Chern-Simonsova teorie topologické uspořádání ve stavech zlomkového kvantového Hallova jevu . Z matematického hlediska je Chern-Simonsova teorie zajímavá, protože umožňuje vypočítat invarianty uzlů , jako je Jonesův polynom .

Chern-Simonsova teorie je určena volbou jednoduché Lieovy grupy G, nazývané kalibrační grupa teorie, a čísla k, které vstupuje do děje jako faktor a nazývá se úrovní teorie. Působení teorie závisí na volbě měřidla, ale generující funkce kvantové teorie pole je jednoznačně určena pro celočíselnou hodnotu úrovně.

Klasická teorie

Chern-Simonsova teorie může být definována na libovolné topologické 3-varietě M s nebo bez hranice. Protože tato teorie je typu Schwartz, není třeba zavádět metriku na M .

Chern-Simonsova teorie je kalibrační teorie, to znamená, že klasické konfigurace pole v teorii na M s kalibrační grupou G jsou popsány hlavním G - svazkem přes M . Souvislý tvar hlavního G -svazku nad M je označen ; nabývá hodnot v Lie algebře g . V obecném případě je konektivita A určena na samostatných mapách, hodnoty A na různých mapách jsou spojeny pomocí transformací měřidel. Kalibrační transformace se vyznačují tím, že kovariantní derivace je transformována v přidružené reprezentaci G . $A:M\to g$ $D=d+A$

Pak se akce zapíše takto:

S={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}\mathrm {tr} (A\wedge dA+{\frac {2}{3}}A\wedge A\wedge A )

Představme si zakřivení spoje

F=DA=dA+A\wedge A\in \Omega ^{2}(M,g)

Potom má pohybová rovnice tvar

{\frac {\delta S}{\delta A))=0={\frac {k}{2\pi }}F

Řešením jsou plochá spojení, která jsou definována holonomií kolem nestahovatelných cyklů na M . Plochá spojení jsou v korespondenci jedna ku jedné s třídami ekvivalence homomorfismů od základní grupy M po kalibrační grupu G .

Ačkoli akce závisí na měřidlu, generující funkcionál v kvantové teorii je dobře definován pro celé číslo k .

Pokud má M hranici , pak existují další data, která popisují volbu trivializace hlavního G - svazku na N. Taková volba definuje zobrazení z N na G . Dynamiku tohoto zobrazení popisuje model WZW na N s hladinou k . $N=\partial M$

Zvažte transformaci měřidla akce Chern-Simons. Při kalibrační transformaci g se tvar spojení A transformuje jako

A_{\mu }\to g^{*}A=g^{-1}A_{\mu }g+g^{-1}\částečné _{\mu }g

Pro akci Chern-Simons máme

S(g^{*}A)=S(A)+{\frac {k}{4\pi }}\int _{\partial M}\mathrm {Tr} (A\wedge dg\; g^{-1})-2\pi k\int _{M}g^{*}\sigma

Tady

\sigma ={\frac {1}{24\pi ^{2}}}\mathrm {Tr} (\mu \wedge \mu \wedge \mu )

kde je Maurer-Cartanova forma. $\mu =X^{-1}dX,X\in G$

Dostaneme sčítání k akci definované na hranici. Vypadá jako člen Vess - Zumino . Z požadavku kalibrační invariance kvantových korelátorů získáme kvantování k , protože funkcionální integrál musí být jednoznačně určen.

Kvantování

V kanonickém kvantování Chern-Simons teorie je stav definován na každém dvourozměrném povrchu . Jako v každé kvantové teorii pole stavy odpovídají paprskům v Hilbertově prostoru. Vzhledem k tomu, že se zabýváme topologickou teorií pole Schwartzova typu, nemáme předem určený čas, tedy libovolný Cauchyho povrch. $\Sigma \subset M$ $\Sigma$

Kodimenze je rovna 1, takže můžeme řezat podél a získat manifold s hranicí, na kterém je klasická dynamika popsána Wess-Zumino-Novikov-Witten modelem. Witten ukázal, že tato korespondence je zachována i v kvantové mechanice. To znamená, že Hilbertův stavový prostor je vždy konečnorozměrný a lze jej identifikovat s prostorem konformních bloků modelu -WZW s úrovní . Konformní bloky jsou lokálně holomorfní a antiholomorfní faktory, jejichž produkty se sčítají ke korelačním funkcím dvourozměrné konformní teorie pole. $\Sigma$ $M$ $\Sigma$ $G$ $k$

Například, jestliže , pak je Hilbertův prostor jednorozměrný a existuje pouze jeden stav. Když stavy odpovídají integrovatelným reprezentacím úrovně afinního rozšíření Lie algebry . K vyřešení Chern-Simonsovy teorie není třeba brát v úvahu povrchy vyššího druhu. $\Sigma =S^{2}$ $\Sigma =T^{2}$ $k$ $G$

Pozorovatelny

Observables v Chern-Simons teorii jsou -bodové funkce měřidla-invariantní operátory, nejvíce často zvážil to Wilsonovy smyčky . Wilsonova smyčka je holonomie kolem kruhu v , počítaná v nějaké reprezentaci skupiny . Protože budeme uvažovat součiny Wilsonových smyček, můžeme reprezentace považovat za neredukovatelné. $n$ $M$ $R$ $G$

{\displaystyle \langle W_{R}(K)\rangle ={\text{Tr))_{R}\,P\,\exp {i\oint _{K}A))

Zde je 1-forma spojení, vezmeme hlavní hodnotu Cauchyho integrálu, je exponent uspořádaný podél cesty. $A$ $P\exp$

Zvažte odkaz v , což je sada odpojených cyklů. Zvláště zajímavá je funkce -bodové korelace, která je produktem Wilsonových smyček v základní reprezentaci kolem těchto cyklů. Tuto korelační funkci lze normalizovat jejím dělením funkcí 0 bodů (statistický součet ). $L$ $M$ $l$ $l$ $G$ $Z$

Jestliže je koule, pak jsou takové normalizované funkce úměrné známým polynomům (invariantům) uzlů. Například v , Chern-Simonsova teorie s úrovní dává $M$ $G=U(N)$ $k$

{\frac {\sin(\pi /(k+N))}{\sin(\pi N/(k+N))))\times \;{\mbox{HOMFLY polynom))

V , HOMFLY polynom se stane Jonesovým polynomem . V tomto případě se získá Kauffmanův polynom . $N=2$ $SO(N)$

Literatura

S.-S. Chern a J. Simons, Charakteristické formy a geometrické invarianty , Annals Math. 99 , 48-69 (1974). (Pro online přístup je vyžadováno předplatné)
Edward Witten , Quantum Field Theory and the Jones Polynomial , Commun.Math.Phys.121:351,1989.
Edward Witten , Chern-Simons Theory as a String Theory , Prog.Math.133:637-678,1995.
Marcos Marino, Chern-Simons Theory and Topological Strings , Rev.Mod.Phys.77:675-720,2005.
Marcos Marino, Chern-Simonsova teorie, maticové modely a topologické řetězce (International Series of Monografs on Physics), OUP, 2005.
Anton Nazarov, WZW Models a Chern-Simons Theory (nepřístupný odkaz)